Faça o mapa de contorno da função, mostrando as curvas de nível nos números dados: f(x, y) = raiz(16 - x^2 - y^2) em 0, 1, 2, 3 e 4 .

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos fazer um mapa de contorno da função , mostrando as curvas de nível para os valores 0, 1, 2, 3 e 4. O mapa de contorno ajuda a visualizar como a função se comporta no plano , desenhando linhas onde a função assume valores constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função . Essa função representa a parte superior de uma esfera com raio 4, centrada na origem , porque a equação completa da esfera seria . Aqui, descreve a metade superior dessa esfera.

Passo 3

Para encontrar as curvas de nível, fixamos o valor de e resolvemos para e . Por exemplo, se escolhermos um nível , temos:
Elevando os dois lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Rearranjando os termos:
Essa equação representa um círculo com centro na origem e raio .

Passo 4

Agora, vamos calcular o raio desses círculos para cada valor de dado: 0, 1, 2, 3 e 4.
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
    Isso significa que apenas o ponto faz parte dessa curva.

Passo 5

Com os raios calculados, podemos desenhar as curvas de nível:
  • : Um grande círculo com raio 4.
  • : Um círculo menor com raio aproximadamente 3,87.
  • : Outro círculo menor com raio aproximadamente 3,46.
  • : Um círculo ainda menor com raio aproximadamente 2,65.
  • : Apenas o ponto central .
Esses círculos são concêntricos, ou seja, todos têm o mesmo centro na origem.

Resposta

O mapa de contorno da função consiste em círculos concêntricos com centro na origem e raios de 4, aproximadamente 3,87, 3,46, 2,65 e 0 para os níveis 0, 1, 2, 3 e 4, respectivamente.

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