Faça o mapa de contorno da função, mostrando as curvas de nível nos números dados:
em
e 4 .
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos fazer um mapa de contorno da função
, mostrando as curvas de nível para os valores 0, 1, 2, 3 e 4. O mapa de contorno ajuda a visualizar como a função se comporta no plano
, desenhando linhas onde a função assume valores constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função
. Essa função representa a parte superior de uma esfera com raio 4, centrada na origem
, porque a equação completa da esfera seria
. Aqui,
descreve a metade superior dessa esfera.
Passo 3
Para encontrar as curvas de nível, fixamos o valor de
e resolvemos para
e
. Por exemplo, se escolhermos um nível
, temos:
Elevando os dois lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Rearranjando os termos:
Essa equação representa um círculo com centro na origem e raio
.
Passo 4
Agora, vamos calcular o raio desses círculos para cada valor de
dado: 0, 1, 2, 3 e 4.
-
Para
: -
Para
: -
Para
: -
Para
: -
Para
: Isso significa que apenas o pontofaz parte dessa curva.
Passo 5
Com os raios calculados, podemos desenhar as curvas de nível:
-
: Um grande círculo com raio 4. -
: Um círculo menor com raio aproximadamente 3,87. -
: Outro círculo menor com raio aproximadamente 3,46. -
: Um círculo ainda menor com raio aproximadamente 2,65. -
: Apenas o ponto central .
Esses círculos são concêntricos, ou seja, todos têm o mesmo centro na origem.
Resposta
O mapa de contorno da função
consiste em círculos concêntricos com centro na origem e raios de 4, aproximadamente 3,87, 3,46, 2,65 e 0 para os níveis 0, 1, 2, 3 e 4, respectivamente.
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Expresse as integrais indefinidas abaixo como uma série de potências, centradas em zero.
(a)
(a)
Calcule:
Prove que
não existe, quando:
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(d)
(d)