Expresse as integrais indefinidas abaixo como uma série de potências, centradas em zero.
(a) integral x1-x^8 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para expressar a integral indefinida como uma série de potências centrada em zero. Isso envolve utilizar séries de potências, especificamente a série geométrica, para representar a função dentro da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula da série geométrica: 11 - x^8 = sumn=0^infty x^8n , válida para . Aqui, a gente pode identificar , então a expressão pode ser escrita como uma série de potências:

Passo 3

Agora, multiplicamos essa série por x1 - x^8 = x cdot sumn=0^infty x^8n = sumn=0^infty x^8n + 1 , já que temos :

Passo 4

Com a expressão da função em forma de série de potências, vamos integrar termo a termo. A integral de integral x1 - x^8 dx = integral sumn=0^infty x^8n + 1 dx = sumn=0^infty x^8n + 28n + 2 + C é , então:

Resposta

A integral indefinida sumn=0^infty x^8n + 28n + 2 + C expressa como uma série de potências centrada em zero é:

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