Encontre uma representação em série de potências, centradas em zero, para as funções abaixo.
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Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar uma representação em série de potências, centrada em zero, para a função
. Isso envolve usar conceitos de séries geométricas para reescrever a função de uma forma que possamos expandi-la em potências de
.
Passo 2
Vamos começar simplificando a expressão da função. Observamos que no denominador temos
. Podemos fatorar o 9 para facilitar:
Passo 3
Agora, queremos colocar a expressão na forma de uma série geométrica. Lembrando que a série geométrica
pode ser expandida como
, desde que
.
No nosso caso, temos:
Passo 4
Substituindo de volta na expressão original:
Passo 5
Agora, vamos distribuir
em cada termo da série:
Resposta
A representação em série de potências centrada em zero para a função
é:
Exercícios relacionados
Faça o mapa de contorno da função, mostrando as curvas de nível nos números dados:
em
e 16.
Classifique as séries numéricas abaixo como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente, justificando sua resposta.
(h)
(h)
Calcule:
Expresse as integrais indefinidas abaixo como uma série de potências, centradas em zero.
(a)
(a)