Encontre uma representação em série de potências, centradas em zero, para as funções abaixo.
© f(x) = x / (9 + 4 x^2)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar uma representação em série de potências, centrada em zero, para a função . Isso envolve usar conceitos de séries geométricas para reescrever a função de uma forma que possamos expandi-la em potências de .

Passo 2

Vamos começar simplificando a expressão da função. Observamos que no denominador temos . Podemos fatorar o 9 para facilitar:

Passo 3

Agora, queremos colocar a expressão na forma de uma série geométrica. Lembrando que a série geométrica pode ser expandida como , desde que .
No nosso caso, temos:

Passo 4

Substituindo de volta na expressão original:

Passo 5

Agora, vamos distribuir em cada termo da série:

Resposta

A representação em série de potências centrada em zero para a função é:

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Faça o mapa de contorno da função, mostrando as curvas de nível nos números dados: f(x, y) = x^2 - y^2 em 0, 1, 4, 9 e 16.
Classifique as séries numéricas abaixo como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente, justificando sua resposta.
(h) sumn=1^infty cos (n)+sin (n)n^3+raizn
Calcule: lim (x, y) (1,1) (x-1)^43-(y-1)^43(x-1)^23+(y-1)^23
Expresse as integrais indefinidas abaixo como uma série de potências, centradas em zero.
(a) integral x1-x^8 d x