Encontre uma representação em série de potências, centradas em zero, para as funções abaixo.
© f(x) = x / (9 + 4 x^2)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar uma representação em série de potências, centrada em zero, para a função . Isso envolve usar conceitos de séries geométricas para reescrever a função de uma forma que possamos expandi-la em potências de .

Passo 2

Vamos começar simplificando a expressão da função. Observamos que no denominador temos . Podemos fatorar o 9 para facilitar:

Passo 3

Agora, queremos colocar a expressão na forma de uma série geométrica. Lembrando que a série geométrica pode ser expandida como , desde que .
No nosso caso, temos:

Passo 4

Substituindo de volta na expressão original:

Passo 5

Agora, vamos distribuir em cada termo da série:

Resposta

A representação em série de potências centrada em zero para a função é:

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