Faça o mapa de contorno da função, mostrando as curvas de nível nos números dados:
em
e 16.
Passo 1
Então, a gente tem um exercício que pede para fazer o mapa de contorno da função
, mostrando as curvas de nível para os valores 0, 1, 4, 9 e 16. Vamos precisar entender o que é um mapa de contorno, o que são curvas de nível e como identificar essas curvas para a função dada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma curva de nível. Para uma função de duas variáveis,
, uma curva de nível é o conjunto de pontos
onde a função assume um valor constante, ou seja,
, onde
é um número real.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso à nossa função
. Queremos encontrar as curvas de nível para
.
Passo 4
Vamos começar com
:
Isso pode ser reescrito como:
Então, a curva de nível para
são as linhas
e
.
Passo 5
Agora, para
:
Esta é a equação de uma hipérbole. Para visualizar, podemos expressar em termos de
:
Portanto, a curva de nível para
é uma hipérbole com abertura ao longo do eixo
.
Passo 6
Para
:
Seguindo o mesmo raciocínio:
Isso também representa uma hipérbole, mas mais “espalhada” que a anterior.
Passo 7
Para
:
Reescrevendo:
Outra hipérbole, ainda mais ampla.
Passo 8
Por fim, para
:
E:
A hipérbole continua a se alargar com valores maiores de
.
Resposta
O mapa de contorno da função
consiste em hipérboles para os níveis 1, 4, 9 e 16, cada uma mais ampla que a anterior, e nas linhas retas
e
para o nível 0. Assim, ao plotar essas curvas no plano
, teremos um conjunto de hipérboles centradas na origem e as linhas diagonais representando o nível zero.
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(h)
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Calcule: