Faça o mapa de contorno da função, mostrando as curvas de nível nos números dados: f(x, y) = x^2 - y^2 em 0, 1, 4, 9 e 16.

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que pede para fazer o mapa de contorno da função , mostrando as curvas de nível para os valores 0, 1, 4, 9 e 16. Vamos precisar entender o que é um mapa de contorno, o que são curvas de nível e como identificar essas curvas para a função dada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma curva de nível. Para uma função de duas variáveis, , uma curva de nível é o conjunto de pontos onde a função assume um valor constante, ou seja, , onde é um número real.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso à nossa função . Queremos encontrar as curvas de nível para .

Passo 4

Vamos começar com :
Isso pode ser reescrito como:
Então, a curva de nível para são as linhas e .

Passo 5

Agora, para :
Esta é a equação de uma hipérbole. Para visualizar, podemos expressar em termos de :
Portanto, a curva de nível para é uma hipérbole com abertura ao longo do eixo .

Passo 6

Para :
Seguindo o mesmo raciocínio:
Isso também representa uma hipérbole, mas mais “espalhada” que a anterior.

Passo 7

Para :
Reescrevendo:
Outra hipérbole, ainda mais ampla.

Passo 8

Por fim, para :
E:
A hipérbole continua a se alargar com valores maiores de .

Resposta

O mapa de contorno da função consiste em hipérboles para os níveis 1, 4, 9 e 16, cada uma mais ampla que a anterior, e nas linhas retas e para o nível 0. Assim, ao plotar essas curvas no plano , teremos um conjunto de hipérboles centradas na origem e as linhas diagonais representando o nível zero.

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