Calcule
, caso exista :
h)
h)
Passo 1
Vamos resolver o limite da função
quando
se aproxima de
. Esse exercício está relacionado ao conteúdo de limites de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos usar técnicas de análise de limites multivariáveis e comparar o comportamento da função em diferentes caminhos que levam ao ponto
.
Passo 2
Primeiro, vamos observar a estrutura da função
. Nosso objetivo é entender o que acontece com essa fração quando
e
se aproximam de zero.
Passo 3
Para analisar o limite, podemos simplificar a expressão. Observe que tanto o numerador quanto o denominador envolvem potências de
e
. Vamos tentar reescrever a função de uma forma que facilite a avaliação do limite.
Passo 4
Vamos dividir o numerador e o denominador por
, já que
elevado ao cubo no denominador dá
. Assim:
Passo 5
Agora, para analisar o comportamento dessa função, consideramos diferentes caminhos que levam
a
. Se o limite for o mesmo em todos os caminhos, então o limite geral existe e é igual a esse valor.
Passo 6
Vamos testar primeiro o caminho onde
. Substituindo
na função:
Portanto, ao longo desse caminho, o limite é
.
Passo 7
Agora, vamos considerar o caminho onde
. Substituindo
na função:
Novamente, o limite é
.
Passo 8
Vamos testar um caminho mais geral, por exemplo,
, onde
é uma constante e
é um expoente positivo que vamos determinar. Substituindo:
Passo 9
Para que o limite seja consistente, devemos escolher
de forma que o termo
e
no denominador tenham a mesma ordem. Assim:
Então, o caminho a ser considerado é
.
Passo 10
Substituindo
na função:
Como
, não há dependência de
e o limite resulta em
.
Passo 11
No entanto, percebemos que ao escolher diferentes valores para
, o resultado do limite pode variar. Por exemplo:
- Para
: - Para
:
Como os limites são diferentes dependendo do valor de
, concluímos que o limite depende do caminho escolhido.
Resposta
O limite não existe.