Calcule lim (x, y) (0,0) f(x, y), caso exista :
h) f(x, y)=x^4 y^4(x^2+y^4)^3

Passo 1

Vamos resolver o limite da função f(x, y) = x^4 y^4(x^2+y^4)^3 quando (x, y) se aproxima de (0,0). Esse exercício está relacionado ao conteúdo de limites de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos usar técnicas de análise de limites multivariáveis e comparar o comportamento da função em diferentes caminhos que levam ao ponto (0,0).

Passo 2

Primeiro, vamos observar a estrutura da função f(x, y) = x^4 y^4(x^2+y^4)^3. Nosso objetivo é entender o que acontece com essa fração quando x e y se aproximam de zero.

Passo 3

Para analisar o limite, podemos simplificar a expressão. Observe que tanto o numerador quanto o denominador envolvem potências de x e y. Vamos tentar reescrever a função de uma forma que facilite a avaliação do limite.

Passo 4

Vamos dividir o numerador e o denominador por y^12, já que y^4 elevado ao cubo no denominador dá y^12. Assim:
f(x, y) = x^4 y^4(x^2+y^4)^3 = (xy^3)^4((xy^2)^2 + 1)^3

Passo 5

Agora, para analisar o comportamento dessa função, consideramos diferentes caminhos que levam (x, y) a (0,0). Se o limite for o mesmo em todos os caminhos, então o limite geral existe e é igual a esse valor.

Passo 6

Vamos testar primeiro o caminho onde x = 0. Substituindo x = 0 na função:
f(0, y) = 0^4 y^4(0^2+y^4)^3 = 0
Portanto, ao longo desse caminho, o limite é 0.

Passo 7

Agora, vamos considerar o caminho onde y = 0. Substituindo y = 0 na função:
f(x, 0) = x^4 cdot 0^4(x^2+0^4)^3 = 0
Novamente, o limite é 0.

Passo 8

Vamos testar um caminho mais geral, por exemplo, y = kx^a, onde k é uma constante e a é um expoente positivo que vamos determinar. Substituindo:
f(x, kx^a) = x^4 (kx^a)^4(x^2 + (kx^a)^4)^3 = k^4 x^4 + 4a(x^2 + k^4x^4a)^3

Passo 9

Para que o limite seja consistente, devemos escolher a de forma que o termo x^2 e x^4a no denominador tenham a mesma ordem. Assim:
2 = 4a Rightarrow a = 12
Então, o caminho a ser considerado é y = kraizx.

Passo 10

Substituindo a = 12 na função:
f(x, kraizx) = k^4 x^4 + 4 cdot 12(x^2 + k^4x^4 cdot 12)^3 = k^4 x^6(x^2 + k^4x^2)^3 = k^4 x^6x^6(1 + k^4)^3 = k^4(1 + k^4)^3
Como x to 0, não há dependência de x e o limite resulta em k^4(1 + k^4)^3.

Passo 11

No entanto, percebemos que ao escolher diferentes valores para k, o resultado do limite pode variar. Por exemplo:
  • Para k = 1: 1(1 + 1)^3 = 18
  • Para k = 0: 0
Como os limites são diferentes dependendo do valor de k, concluímos que o limite depende do caminho escolhido.

Resposta

O limite não existe.

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