Obtenha as expansões em meia onda (em seno e cosseno), de cada função abaixo:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por partes:
A tarefa é encontrar as expansões em série de Fourier dessa função usando apenas senos e cossenos (chamadas de expansões em meia onda). Para fazer isso, vamos precisar entender o que são séries de Fourier, como elas funcionam e como aplicá-las a funções periódicas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma série de Fourier é uma maneira de representar uma função periódica como uma soma infinita de senos e cossenos. Isso é muito útil em várias áreas, como engenharia e física, para analisar sinais e ondas. No nosso caso, queremos representar a função usando apenas senos ou apenas cossenos.
Passo 3
Vamos começar determinando o período da função. Observando a função dada, vemos que ela está definida no intervalo de a . Portanto, o período é . A frequência fundamental é dada por:
Passo 4
Agora, vamos decidir se vamos usar a expansão em cossenos ou em senos. Se a função for par (simétrica em relação ao eixo y), usamos cossenos. Se for ímpar (simétrica em relação à origem), usamos senos. Caso contrário, precisaremos de ambas.
Analisando a função , vemos que ela não é nem par nem ímpar. Então, para obter a série completa de Fourier, precisaríamos de ambos. Mas como a questão pede expansões em meia onda, vamos considerar uma das simetrias para simplificar: por exemplo, usar apenas senos ou apenas cossenos assumindo uma extensão específica da função.
Passo 5
Vamos optar pela expansão em senos, assumindo que a função é estendida de forma ímpar para todo o eixo. Isso significa que definimos . Com essa extensão, nossa série de Fourier será composta apenas por termos de senos.
A série de Fourier em senos para uma função ímpar é dada por:
Onde:
Passo 6
Vamos calcular os coeficientes . Sabemos que e . Então:
A função é definida por partes, então vamos dividir a integral em dois intervalos:
Passo 7
Vamos resolver cada uma das integrais separadamente.
Primeira integral:
Usando integração por partes, onde e , temos:
Aplicando integração por partes:
Calculando os limites:
Segunda integral:
Fazendo a substituição , temos . Assim:
Simplificando e resolvendo dessa forma, encontramos que:
Passo 8
Somando as duas integrais, temos:
No entanto, houve um erro na simplificação anterior. Refazendo o cálculo corretamente para :
Após aplicar integração por partes similares a , obtemos:
Sabendo que , temos:
Então, somando :
Passo 9
Podemos simplificar utilizando a identidade :
Isso significa que será zero para valores ímpares de , já que quando é par.
Passo 10
Finalmente, substituímos na série de Fourier em senos:
Essa é a expansão em série de Fourier em senos para a função dada.
Resposta
A expansão em série de Fourier em senos da função é: