Confirme que o campo de forças F é conservativo em alguma região aberta conexa contendo os pontos P e Q e, então, calcule o trabalho realizado pelo campo de forças em uma partícula que se move de P até Q ao longo de uma curva lisa arbitrária na região de P até Q . (Ex 15 a 18)
21.2. F(x, y) = 2 * x * y^3 * i + 3 * x^2 * y^2 * j ; P(-3, 0), Q(4, 1)

Passo 1

Beleza, bora resolver esse exercício juntos! A gente tem um campo de forças e dois pontos e . A gente precisa confirmar se esse campo é conservativo numa região que conecta P e Q e, se for, calcular o trabalho realizado pelo campo quando uma partícula se move de P até Q por qualquer caminho suave nessa região. Para isso, vamos precisar entender o que é um campo conservativo, verificar se satisfaz as condições para ser conservativo e, finalmente, calcular o trabalho usando uma função potencial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o campo ser conservativo. Um campo de forças é conservativo se o trabalho realizado entre dois pontos não depender do caminho escolhido, ou seja, só depende dos pontos iniciais e finais. Matematicamente, para um campo ser conservativo, em uma região simplesmente conexa, a seguinte condição precisa ser satisfeita:
Vamos verificar isso para o nosso campo.

Passo 3

Calculando :
E agora :
Como , a condição para o campo ser conservativo é satisfeita. Assim, é um campo conservativo na região que estamos considerando.

Passo 4

Agora que sabemos que é conservativo, podemos encontrar uma função potencial tal que:
Ou seja, temos que:
Vamos integrar em relação a para encontrar .

Passo 5

Integrando em relação a :
Aqui, é uma função que depende apenas de e surge da constante de integração.

Passo 6

Agora, vamos derivar em relação a e igualar a que já conhecemos:
Isso implica que , ou seja, é uma constante. Podemos ignorar essa constante no cálculo do trabalho, pois ela se cancela na diferença.

Passo 7

Então, a função potencial é:
Agora, para calcular o trabalho realizado pelo campo ao mover a partícula de P a Q, usamos a diferença da função potencial nos pontos finais:

Passo 8

Calculando onde :
E onde :

Resposta

O trabalho realizado pelo campo de forças ao mover a partícula de P até Q é unidades.

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