Confirme que o campo de forças
é conservativo em alguma região aberta conexa contendo os pontos P e Q e, então, calcule o trabalho realizado pelo campo de forças em uma partícula que se move de P até Q ao longo de uma curva lisa arbitrária na região de P até Q . (Ex 15 a 18)
21.2.
21.2.
Passo 1
Beleza, bora resolver esse exercício juntos! A gente tem um campo de forças
e dois pontos
e
. A gente precisa confirmar se esse campo é conservativo numa região que conecta P e Q e, se for, calcular o trabalho realizado pelo campo quando uma partícula se move de P até Q por qualquer caminho suave nessa região. Para isso, vamos precisar entender o que é um campo conservativo, verificar se
satisfaz as condições para ser conservativo e, finalmente, calcular o trabalho usando uma função potencial.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o campo ser conservativo. Um campo de forças é conservativo se o trabalho realizado entre dois pontos não depender do caminho escolhido, ou seja, só depende dos pontos iniciais e finais. Matematicamente, para um campo
ser conservativo, em uma região simplesmente conexa, a seguinte condição precisa ser satisfeita:
Vamos verificar isso para o nosso campo.
Passo 3
Calculando
:
E agora
:
Como
, a condição para o campo ser conservativo é satisfeita. Assim,
é um campo conservativo na região que estamos considerando.
Passo 4
Agora que sabemos que
é conservativo, podemos encontrar uma função potencial
tal que:
Ou seja, temos que:
Vamos integrar
em relação a
para encontrar
.
Passo 5
Integrando
em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
e surge da constante de integração.
Passo 6
Agora, vamos derivar
em relação a
e igualar a
que já conhecemos:
Isso implica que
, ou seja,
é uma constante. Podemos ignorar essa constante no cálculo do trabalho, pois ela se cancela na diferença.
Passo 7
Então, a função potencial é:
Agora, para calcular o trabalho realizado pelo campo ao mover a partícula de P a Q, usamos a diferença da função potencial nos pontos finais:
Passo 8
Calculando
onde
:
E
onde
:
Resposta
O trabalho realizado pelo campo de forças ao mover a partícula de P até Q é
unidades.