Obtenha as expansões em meia onda (em seno e cosseno), de cada função abaixo:
e
não é um número inteiro
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar as expansões em meia onda em termos de seno e cosseno da função
, onde
e
não é um número inteiro. Vamos usar o conteúdo de séries de Fourier para isso. Precisaremos entender como decompor funções em séries de senos e cossenos, especialmente na forma de meia onda.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma expansão em meia onda. Basicamente, estamos tentando escrever a função
como uma soma de termos senoidais e cossenoidais que se repetem a cada meia onda no intervalo dado. Isso é útil para analisar funções periódicas ou para simplificar cálculos em física e engenharia.
Passo 3
Para encontrar a expansão em série de Fourier, precisamos identificar os coeficientes que multiplicam os termos de seno e cosseno. A fórmula geral para a série de Fourier em meia onda no intervalo
é:
Aqui,
é o termo constante,
são os coeficientes dos cossenos e
são os coeficientes dos senos.
Passo 4
Vamos calcular o coeficiente
usando a fórmula:
Substituindo
:
Passo 5
Para resolver essa integral, usamos a identidade trigonométrica:
Aplicando isso:
Simplificando:
Passo 6
Agora, calculamos
usando:
Substituindo
:
Passo 7
Usamos a identidade trigonométrica:
Aplicando isso:
Simplificando:
Passo 8
Juntando tudo, a expansão em série de Fourier de
em meia onda é:
Onde os coeficientes
e
são dados pelas expressões que encontramos nos Passos 5 e 7.
Resposta
A expansão em meia onda da função
no intervalo
é dada por: