Obtenha as expansões em meia onda (em seno e cosseno), de cada função abaixo:
f(x) = sen(a x), 0 < t <= pi e a não é um número inteiro

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar as expansões em meia onda em termos de seno e cosseno da função , onde e não é um número inteiro. Vamos usar o conteúdo de séries de Fourier para isso. Precisaremos entender como decompor funções em séries de senos e cossenos, especialmente na forma de meia onda.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma expansão em meia onda. Basicamente, estamos tentando escrever a função como uma soma de termos senoidais e cossenoidais que se repetem a cada meia onda no intervalo dado. Isso é útil para analisar funções periódicas ou para simplificar cálculos em física e engenharia.

Passo 3

Para encontrar a expansão em série de Fourier, precisamos identificar os coeficientes que multiplicam os termos de seno e cosseno. A fórmula geral para a série de Fourier em meia onda no intervalo é:
Aqui, é o termo constante, são os coeficientes dos cossenos e são os coeficientes dos senos.

Passo 4

Vamos calcular o coeficiente usando a fórmula:
Substituindo :

Passo 5

Para resolver essa integral, usamos a identidade trigonométrica:
Aplicando isso:
Simplificando:

Passo 6

Agora, calculamos usando:
Substituindo :

Passo 7

Usamos a identidade trigonométrica:
Aplicando isso:
Simplificando:

Passo 8

Juntando tudo, a expansão em série de Fourier de em meia onda é:
Onde os coeficientes e são dados pelas expressões que encontramos nos Passos 5 e 7.

Resposta

A expansão em meia onda da função no intervalo é dada por:

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