Calcule lim (x, y) (0,0) f(x, y), caso exista :
o) f(x, y)=x-yx^2+y^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite da função quando se aproxima de . Aqui, estamos trabalhando com limites de funções de duas variáveis, que é um tema dentro do cálculo multivariável. Para resolver isso, vamos precisar analisar o comportamento da função ao nos aproximarmos de por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa calcular um limite em duas dimensões. Diferente do limite em uma dimensão, onde temos apenas um caminho para nos aproximarmos do ponto, em duas dimensões podemos nos aproximar por infinitos caminhos diferentes. Para que o limite exista, todos esses caminhos devem levar ao mesmo valor.

Passo 3

Vamos começar analisando um caminho simples: o eixo f(x, 0) = x - 0x^2 + 0^2 = xx^2 = 1x , onde limx to 0 1x . Substituindo na função, temos:
Agora, vamos ver o que acontece quando se aproxima de 0:
Esse limite não existe porque, à medida que se aproxima de 0 pela direita ( ), tende ao infinito positivo, e pela esquerda ( ), tende ao infinito negativo. Portanto, o limite não é um número real finito nesse caminho.

Passo 4

Vamos verificar outro caminho para ter certeza. Vamos escolher a reta f(x, x) = x - xx^2 + x^2 = 02x^2 = 0 . Substituindo limx to 0 0 = 0 na função, temos:
Nesse caso, o limite é simplesmente:

Passo 5

Observamos que ao nos aproximarmos de pelo eixo , o limite não existe (tende ao infinito), enquanto pelo caminho , o limite é 0. Como os limites por caminhos diferentes resultam em valores diferentes (ou inexistentes), podemos concluir que o limite geral da função não existe.

Resposta

O limite de quando se aproxima de não existe.

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