Encontre as Transformadas de Laplace das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a Transformada de Laplace da função
. Aqui, estamos trabalhando com transformadas de Laplace, que é uma ferramenta matemática útil para resolver equações diferenciais. Vamos precisar saber as transformadas de funções exponenciais e funções seno.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a Transformada de Laplace é uma operação que transforma uma função no tempo
para uma função na frequência
. Basicamente, ela nos ajuda a simplificar problemas envolvendo equações diferenciais.
Passo 3
A Transformada de Laplace tem a propriedade de linearidade, ou seja, a transformada da soma de funções é igual à soma das transformadas de cada função individualmente. Matematicamente, isso é representado por:
No nosso caso, temos
e as funções
e
.
Passo 4
Agora, vamos aplicar a linearidade para separar a transformada da soma:
Passo 5
Em seguida, precisamos lembrar das transformadas individuais. A transformada de
é:
Aqui,
, então:
Passo 6
Para a função seno, a transformada de
é:
No nosso caso,
, então:
Passo 7
Agora, substituímos essas transformadas na expressão que tínhamos no Passo 4:
Simplificando, ficamos com:
Resposta
A Transformada de Laplace da função
é: