Encontre as Transformadas de Laplace das seguintes funções:
f(t) = 4 e^(5 t) + sen(2 t)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a Transformada de Laplace da função . Aqui, estamos trabalhando com transformadas de Laplace, que é uma ferramenta matemática útil para resolver equações diferenciais. Vamos precisar saber as transformadas de funções exponenciais e funções seno.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a Transformada de Laplace é uma operação que transforma uma função no tempo para uma função na frequência . Basicamente, ela nos ajuda a simplificar problemas envolvendo equações diferenciais.

Passo 3

A Transformada de Laplace tem a propriedade de linearidade, ou seja, a transformada da soma de funções é igual à soma das transformadas de cada função individualmente. Matematicamente, isso é representado por:
No nosso caso, temos e as funções e .

Passo 4

Agora, vamos aplicar a linearidade para separar a transformada da soma:

Passo 5

Em seguida, precisamos lembrar das transformadas individuais. A transformada de é:
Aqui, , então:

Passo 6

Para a função seno, a transformada de é:
No nosso caso, , então:

Passo 7

Agora, substituímos essas transformadas na expressão que tínhamos no Passo 4:
Simplificando, ficamos com:

Resposta

A Transformada de Laplace da função é:

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