Calcule lim (x, y) (0,0) f(x, y), caso exista :
m) f(x, y)=x^2+yx^2+y^2

Passo 1

Então, a gente tem que calcular o limite de quando se aproxima de . Esse tipo de problema está ligado ao estudo de limites em várias variáveis. Para resolver, vamos verificar o comportamento da função ao nos aproximarmos do ponto por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o limite ao nos aproximarmos de f(0, y) = 0^2 + y0^2 + y^2 = yy^2 = 1y ao longo do eixo limy to 0 1y , ou seja, mantendo .
Substituindo na função:
Agora, vamos calcular o limite de quando se aproxima de 0:
Esse limite não existe porque, dependendo de como se aproxima de 0, o resultado tende a ou .

Passo 3

Em seguida, vamos considerar outro caminho: aproximar-se de f(x, 0) = x^2 + 0x^2 + 0^2 = x^2x^2 = 1 ao longo do eixo limx to 0 1 = 1 , ou seja, mantendo .
Substituindo na função:
Então, o limite ao longo do eixo é:

Passo 4

Agora, observamos que ao nos aproximarmos de por caminhos diferentes, os limites obtenidos são distintos:
  • Pelo eixo : o limite não existe (tende a ou )
  • Pelo eixo : o limite é
Quando diferentes caminhos resultam em limites diferentes, isso indica que o limite geral não existe.

Resposta

Portanto, o limite não existe.

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