Determine a transformada e a integral de Fourier das funções abaixo:
f(x) = { pi + x, se -pi <= x <= 0 ; pi - x, se 0 <= x <= pi ; 0, se |x| >= pi }

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar a transformada de Fourier e a integral de Fourier da função definida por partes:
Vamos precisar usar os conceitos de Transformada de Fourier, que nos ajuda a transformar uma função do domínio do tempo (ou espaço) para o domínio da frequência, e a Integral de Fourier, que é usada para reconstruir a função original a partir de sua transformada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função . Ela é simétrica em relação à origem e forma um triângulo com base no intervalo . Esse tipo de função é chamada de função triangular e é bastante utilizada em análise de sinais.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a Transformada de Fourier. A definição da transformada de Fourier de uma função é:
Mas como para , podemos limitar os limites da integral para e :

Passo 4

Vamos dividir a integral em duas partes, de a 0 e de 0 a , de acordo com a definição de :

Passo 5

Vamos resolver cada integral separadamente. Começando com a primeira:
Podemos dividir em duas integrais:
Calculando cada parte:
E para a segunda parte, usamos integração por partes:
Avaliando de a 0:

Passo 6

Agora, vamos resolver a segunda integral :
Novamente, dividimos em duas partes:
Calculando cada parte:
E para a segunda parte, novamente integração por partes:
Avaliando de 0 a :

Passo 7

Agora, somamos as partes e para obter a transformada de Fourier completa:
Simplificando os termos, percebemos que muitas partes se cancelam, resultando em:
Usando a identidade trigonométrica , podemos escrever:

Passo 8

Portanto, a Transformada de Fourier da função é:

Resposta

A transformada de Fourier da função é:

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