Use o Teorema de Green para calcular a integral. Em cada exercício, suponha que a curva C seja orientada no sentido anti-horário. (Ex 3 a 13)
24.4.
ointc y cdot tg^2(x) cdot d x+tg(x) cdot d y
Onde C é o círculo x^2+(y+1)^2=1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green. O enunciado nos dá uma curva , que é um círculo definido por , e indica que a integral está no sentido anti-horário. Para isso, vamos precisar identificar as funções envolvidas na integral e aplicar o teorema para simplificar nosso cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da integral que a gente precisa trabalhar. A integral que temos é:
ointC y cdot tan^2(x) cdot dx + tan(x) cdot dy
Aqui, podemos ver que:
O Teorema de Green nos ajuda a transformar essa integral de linha em uma integral dupla sobre a região que está dentro da curva .

Passo 3

Vamos lembrar o que o Teorema de Green diz. Ele estabelece que:
ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA
Então, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e de em relação a .

Passo 4

Calculando as derivadas:
  1. Derivada parcial de partial Qpartial x = partialpartial x ( tan(x) ) = sec^2(x) em relação a partial Ppartial y = partialpartial y ( y cdot tan^2(x) ) = tan^2(x) :
partial Qpartial x - partial Ppartial y = sec^2(x) - tan^2(x)
  1. Derivada parcial de em relação a :
Agora, substituindo essas derivadas na expressão do Teorema de Green:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão sec^2(x) - tan^2(x) = 1 . Sabemos, pelas identidades trigonométricas, que:
integral duplaD 1 , dA
Então, a integral dupla fica assim:
Isso significa que temos que calcular a área da região dentro do círculo .

Passo 6

O círculo dado por Área = pi cdot r^2 tem centro em Área = pi cdot 1^2 = pi e raio . A área de um círculo é dada por:
Á
Substituindo o raio :
Á

Resposta

A integral é igual a .

Exercícios relacionados