Use o Teorema de Green para calcular a integral. Em cada exercício, suponha que a curva
seja orientada no sentido anti-horário. (Ex 3 a 13)
24.4.
Onde
é o círculo
.
24.4.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green. O enunciado nos dá uma curva
, que é um círculo definido por
, e indica que a integral está no sentido anti-horário. Para isso, vamos precisar identificar as funções envolvidas na integral e aplicar o teorema para simplificar nosso cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da integral que a gente precisa trabalhar. A integral que temos é:
Aqui, podemos ver que:
O Teorema de Green nos ajuda a transformar essa integral de linha em uma integral dupla sobre a região
que está dentro da curva
.
Passo 3
Vamos lembrar o que o Teorema de Green diz. Ele estabelece que:
Então, precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
.
Passo 4
Calculando as derivadas:
- Derivada parcial de
em relação a :
- Derivada parcial de
em relação a :
Agora, substituindo essas derivadas na expressão do Teorema de Green:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão
. Sabemos, pelas identidades trigonométricas, que:
Então, a integral dupla fica assim:
Isso significa que temos que calcular a área da região
dentro do círculo
.
Passo 6
O círculo dado por
tem centro em
e raio
. A área de um círculo é dada por:
Substituindo o raio
:
Resposta
A integral é igual a
.