Use integral de Fourier para encontrar uma solução particular para a equação , onde
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que resolver a equação diferencial usando a integral de Fourier. O que isso significa? Basicamente, vamos transformar a equação no domínio da frequência para facilitar a resolução. A função é uma função por partes, então precisamos entender como ela se comporta. Vamos precisar conhecer um pouco sobre transformadas de Fourier e como aplicá-las em equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a transformada de Fourier em ambos os lados da equação. Lembrando que a transformada de Fourier de uma derivada tem uma propriedade especial. Para a segunda derivada, temos:
E para a primeira derivada:
E a transformada de Fourier de é simplesmente . Portanto, aplicando a transformada na equação original:
Passo 3
Agora, vamos organizar os termos que contêm :
Para isolar , dividimos ambos os lados por :
Passo 4
Precisamos agora encontrar , que é a transformada de Fourier da função . Como é uma função por partes, vamos calcular a transformada em cada intervalo onde tem uma expressão diferente.
Para , :
Sabemos que:
E:
Para , :
E para os outros intervalos, , então .
Passo 5
Juntando tudo, a transformada de Fourier completa é a soma das transformadas nos intervalos onde é diferente de zero:
Passo 6
Agora que temos , vamos substituir na expressão de :
Como a delta de Dirac “seleciona” o valor em , substituímos na expressão do denominador:
Passo 7
Agora, precisamos encontrar aplicando a transformada inversa de Fourier em :