Determine o conjunto dos pontos em que a função dada é diferenciável. Justifique
f) f(x, y) = arctan(x * y)

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede para determinar onde a função é diferenciável. Isso envolve entender quando uma função de duas variáveis tem derivadas parciais que existem e são contínuas. Para resolver isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre derivadas parciais e a função arco-tangente ( ).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função é diferenciável em todo o seu domínio, que é para qualquer número real . Isso significa que não há valores de para os quais a não exista ou não seja diferenciável.

Passo 3

Agora, olhando para a nossa função , vemos que o argumento da é . Precisamos verificar se é sempre um número real para todos os e reais. Como multiplicar dois números reais sempre resulta em outro número real, está definido para todos os e em .

Passo 4

Além disso, a função é diferenciável em todo porque é uma função polinomial simples, cujas derivadas parciais existem e são contínuas em todos os pontos.

Passo 5

Por fim, como tanto quanto são diferenciáveis em todo o seu domínio, a composição das duas, que é , também será diferenciável em todo .

Resposta

A função é diferenciável para todos os pontos no plano .

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