Determine o conjunto dos pontos em que a função dada é diferenciável. Justifique
f)
f)
Passo 1
Vamos lá! O enunciado pede para determinar onde a função
é diferenciável. Isso envolve entender quando uma função de duas variáveis tem derivadas parciais que existem e são contínuas. Para resolver isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre derivadas parciais e a função arco-tangente (
).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a função
é diferenciável em todo o seu domínio, que é para qualquer número real
. Isso significa que não há valores de
para os quais a
não exista ou não seja diferenciável.
Passo 3
Agora, olhando para a nossa função
, vemos que o argumento da
é
. Precisamos verificar se
é sempre um número real para todos os
e
reais. Como multiplicar dois números reais sempre resulta em outro número real,
está definido para todos os
e
em
.
Passo 4
Além disso, a função
é diferenciável em todo
porque é uma função polinomial simples, cujas derivadas parciais existem e são contínuas em todos os pontos.
Passo 5
Por fim, como tanto
quanto
são diferenciáveis em todo o seu domínio, a composição das duas, que é
, também será diferenciável em todo
.
Resposta
A função
é diferenciável para todos os pontos
no plano
.