Calcule
para as funções abaixo. Determine os pontos de continuidade.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver o exercício que pede para calcular o limite de uma função vetorial
quando
se aproxima de
. A função
tem três componentes:
Vamos precisar usar conceitos de limites e continuidade para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o limite da primeira componente da função:
Note que se substituirmos
diretamente, temos
, o que é uma indeterminação. Para resolver isso, vamos fatorar o numerador e o denominador.
Passo 3
Fatorando o numerador
, reconhecemos que é uma diferença de cubos:
O denominador
é uma diferença de quadrados:
Então, podemos simplificar a fração:
Passo 4
Agora, podemos calcular o limite sem a indeterminação:
Passo 5
Vamos para a segunda componente:
Sabemos que
. Então temos:
Para todo
, isso é igual a 0. Portanto:
Passo 6
Agora, a terceira componente é direta:
Passo 7
Agora, juntando os limites das três componentes, temos:
Passo 8
Para determinar os pontos de continuidade da função
, precisamos verificar onde cada componente é contínua.
-
Primeira componente:Depois de simplificar, vemos que a função está definida para todos os
exceto e . -
Segunda componente:Está definida para todo
exceto . -
Terceira componente:É contínua para todos os
.
Portanto, a função
é contínua em todos os pontos exceto
e
.
Resposta
Os pontos de continuidade de
são todos os valores de
exceto
e
.
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.
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a)
a)
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