Calcule para as funções abaixo. Determine os pontos de continuidade.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver o exercício que pede para calcular o limite de uma função vetorial quando se aproxima de . A função tem três componentes:
Vamos precisar usar conceitos de limites e continuidade para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite da primeira componente da função:
Note que se substituirmos diretamente, temos , o que é uma indeterminação. Para resolver isso, vamos fatorar o numerador e o denominador.

Passo 3

Fatorando o numerador , reconhecemos que é uma diferença de cubos:
O denominador é uma diferença de quadrados:
Então, podemos simplificar a fração:

Passo 4

Agora, podemos calcular o limite sem a indeterminação:

Passo 5

Vamos para a segunda componente:
Sabemos que . Então temos:
Para todo , isso é igual a 0. Portanto:

Passo 6

Agora, a terceira componente é direta:

Passo 7

Agora, juntando os limites das três componentes, temos:

Passo 8

Para determinar os pontos de continuidade da função , precisamos verificar onde cada componente é contínua.
  1. Primeira componente:
    Depois de simplificar, vemos que a função está definida para todos os exceto e .
  2. Segunda componente:
    Está definida para todo exceto .
  3. Terceira componente:
    É contínua para todos os .
Portanto, a função é contínua em todos os pontos exceto e .

Resposta

Os pontos de continuidade de são todos os valores de exceto e .

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