Calcule lim t t0 F(t) para as funções abaixo. Determine os pontos de continuidade. F(t)=(t^3-8t^2-4, cos (pi2)t-2, 2 t), t0=2

Passo 1

Beleza! Vamos resolver o exercício que pede para calcular o limite de uma função vetorial F(t) = (t^3-8t^2-4, cos (pi2)t-2, 2 t) quando se aproxima de . A função tem três componentes:
Vamos precisar usar conceitos de limites e continuidade para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite da primeira componente da função:
limt to 2 t^3 - 8t^2 - 4
Note que se substituirmos diretamente, temos , o que é uma indeterminação. Para resolver isso, vamos fatorar o numerador e o denominador.

Passo 3

Fatorando o numerador t^3 - 8 = (t - 2)(t^2 + 2t + 4) , reconhecemos que é uma diferença de cubos:
t^2 - 4 = (t - 2)(t + 2)
O denominador (t - 2)(t^2 + 2t + 4)(t - 2)(t + 2) = t^2 + 2t + 4t + 2, t neq 2 é uma diferença de quadrados:
Então, podemos simplificar a fração:

Passo 4

Agora, podemos calcular o limite sem a indeterminação:
limt to 2 t^2 + 2t + 4t + 2 = 2^2 + 2 cdot 2 + 42 + 2 = 4 + 4 + 44 = 124 = 3

Passo 5

Vamos para a segunda componente:
limt to 2 cos (pi2)t - 2
Sabemos que 0t - 2 . Então temos:
limt to 2 cos (pi2)t - 2 = 0
Para todo , isso é igual a 0. Portanto:

Passo 6

Agora, a terceira componente é direta:
limt to 2 2t = 2 cdot 2 = 4

Passo 7

Agora, juntando os limites das três componentes, temos:
limt to 2 F(t) = (3, 0, 4)

Passo 8

Para determinar os pontos de continuidade da função t^3 - 8t^2 - 4 , precisamos verificar onde cada componente é contínua.
  1. Primeira componente:
    cos (pi2)t - 2 = 0t - 2
    Depois de simplificar, vemos que a função está definida para todos os 2t exceto e .
  2. Segunda componente:
    Está definida para todo exceto .
  3. Terceira componente:
    É contínua para todos os .
Portanto, a função é contínua em todos os pontos exceto e .

Resposta

limt to 2 F(t) = (3,, 0,, 4)
Os pontos de continuidade de são todos os valores de exceto e .

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