Mostre que os limites abaixo não existem.
a) lim substackx 0 y 0 x^2-y^2x^2+y^2

Passo 1

Neste exercício, vamos mostrar que o limite
lim substackx 0 y 0 x^2-y^2x^2+y^2
não existe. Para isso, vamos utilizar conceitos de limites em funções de duas variáveis e analisar como a função se comporta ao nos aproximarmos do ponto por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, é importante lembrar que para que um limite exista em múltiplas variáveis, o resultado deve ser o mesmo independentemente do caminho que seguimos para chegar ao ponto de interesse. Se encontrarmos pelo menos dois caminhos que dão resultados diferentes, podemos concluir que o limite não existe.

Passo 3

Vamos escolher dois caminhos diferentes para nos aproximarmos de x^2 - 0^2x^2 + 0^2 = x^2x^2 = 1 e calcular o limite em cada caso.
Caminho 1: Aproximar-se ao longo do eixo (onde ).
Substituindo na função:
Então, ao nos aproximarmos de pelo eixo , o limite é 1.

Passo 4

Caminho 2: Aproximar-se ao longo do eixo 0^2 - y^20^2 + y^2 = -y^2y^2 = -1 (onde ).
Substituindo na função:
Então, ao nos aproximarmos de pelo eixo , o limite é -1.

Passo 5

Como obtemos resultados diferentes (1 e -1) ao nos aproximarmos de por caminhos diferentes, isso significa que o limite depende do caminho escolhido. Portanto, o limite não existe.

Resposta

O limite
lim substackx 0 y 0 x^2-y^2x^2+y^2
não existe.

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