Mostre que os limites abaixo não existem.
a)
a)
Passo 1
Neste exercício, vamos mostrar que o limite
não existe. Para isso, vamos utilizar conceitos de limites em funções de duas variáveis e analisar como a função se comporta ao nos aproximarmos do ponto
por diferentes caminhos.
Passo 2
Primeiro, é importante lembrar que para que um limite exista em múltiplas variáveis, o resultado deve ser o mesmo independentemente do caminho que seguimos para chegar ao ponto de interesse. Se encontrarmos pelo menos dois caminhos que dão resultados diferentes, podemos concluir que o limite não existe.
Passo 3
Vamos escolher dois caminhos diferentes para nos aproximarmos de
e calcular o limite em cada caso.
Caminho 1: Aproximar-se ao longo do eixo
(onde
).
Substituindo
na função:
Então, ao nos aproximarmos de
pelo eixo
, o limite é 1.
Passo 4
Caminho 2: Aproximar-se ao longo do eixo
(onde
).
Substituindo
na função:
Então, ao nos aproximarmos de
pelo eixo
, o limite é -1.
Passo 5
Como obtemos resultados diferentes (1 e -1) ao nos aproximarmos de
por caminhos diferentes, isso significa que o limite depende do caminho escolhido. Portanto, o limite não existe.
Resposta
O limite
não existe.
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.
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