Encontre a velocidade, o módulo da velocidade e a aceleração da partícula cujo o movimento seja dado pelo vetor posição
no valor determinado de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a velocidade, o módulo da velocidade (que é a velocidade escalar) e a aceleração de uma partícula que se movimenta de acordo com o vetor posição
no instante
. Para isso, vamos usar conceitos de Cálculo Diferencial aplicados à cinemática, que estuda o movimento.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a velocidade da partícula. A velocidade é dada pela derivada do vetor posição em relação ao tempo
. Ou seja,
.
Vamos derivar cada componente de
:
Derivando em relação a
:
Passo 3
Agora, vamos calcular a velocidade no instante
. Substituímos
por 1 na expressão que encontramos para
:
Simplificando a segunda componente:
Então:
Passo 4
Vamos encontrar o módulo da velocidade, que é a velocidade escalar, ou seja, o tamanho do vetor velocidade. Usamos a fórmula da magnitude de um vetor:
Substituindo
:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a aceleração da partícula. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja,
.
Vamos derivar cada componente de
:
Passo 6
Finalmente, vamos calcular a aceleração no instante
. Substituímos
por 1 na expressão que encontramos para
:
Resposta
No instante
:
- Velocidade:
- Módulo da Velocidade:
- Aceleração:
Exercícios relacionados
Represente as curvas paramétricas por meio de um gráfico:
Calcule os limites de cada um dos itens abaixo.
j)
j)
Calcule
para as funções abaixo. Determine os pontos de continuidade.
Mostre que os limites abaixo não existem.
a)
a)