Encontre a velocidade, o módulo da velocidade e a aceleração da partícula cujo o movimento seja dado pelo vetor posição r(t) no valor determinado de t. r(t) = (1 + t, t^2/raiz(2), t^3/3) ; t = 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a velocidade, o módulo da velocidade (que é a velocidade escalar) e a aceleração de uma partícula que se movimenta de acordo com o vetor posição no instante . Para isso, vamos usar conceitos de Cálculo Diferencial aplicados à cinemática, que estuda o movimento.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade da partícula. A velocidade é dada pela derivada do vetor posição em relação ao tempo . Ou seja, .
Vamos derivar cada componente de :
Derivando em relação a :

Passo 3

Agora, vamos calcular a velocidade no instante . Substituímos por 1 na expressão que encontramos para :
Simplificando a segunda componente:
Então:

Passo 4

Vamos encontrar o módulo da velocidade, que é a velocidade escalar, ou seja, o tamanho do vetor velocidade. Usamos a fórmula da magnitude de um vetor:
Substituindo :

Passo 5

Agora, vamos encontrar a aceleração da partícula. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja, .
Vamos derivar cada componente de :

Passo 6

Finalmente, vamos calcular a aceleração no instante . Substituímos por 1 na expressão que encontramos para :

Resposta

No instante :
  • Velocidade:
  • Módulo da Velocidade:
  • Aceleração:

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