Calcule

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite que envolve cálculo integral. A questão pede para calcular . Isso está ligado ao conteúdo de cálculo diferencial e integral, especificamente ao Teorema Fundamental do Cálculo. Para resolver, vamos precisar entender como relacionar a derivada com a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a expressão . Essa fração representa a média do valor da função no intervalo de até .

Passo 3

Quando se aproxima de 0, o intervalo fica bem pequeno, próximo a . Então, não varia muito nesse intervalo e podemos aproximar a integral por .

Passo 4

Substituindo na expressão original, temos:

Resposta

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Esboce a região delimitada pelas curvas e expresse sua área em termos de integrais. Não é necessário calcular as integrais.
Esboce a região delimitada pelas curvas . Expresse, por meio de integrais, o volume do sólido obtido pela rotação de em torno da reta indicada: eixo
Esboce a região delimitada pelas curvas . Expresse, por meio de integrais, o volume do sólido obtido pela rotação de em torno da reta indicada: . Não é necessário calcular as integrais.
Determine um número para o dado tal que se então .
(b) .