Esboce a região
delimitada pelas curvas
. Expresse, por meio de integrais, o volume do sólido obtido pela rotação de
em torno da reta indicada:
. Não é necessário calcular as integrais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo juntos! A questão pede para esboçarmos a região delimitada pelas curvas
e
. Depois, precisamos expressar, usando integrais, o volume do sólido formado ao girar essa região em torno da reta
. Para isso, vamos precisar entender onde essas curvas se intersectam e usar o método dos discos ou anéis para encontrar o volume.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as curvas se cruzam, ou seja, onde
. Isso nos ajuda a determinar os limites de integração.
Passo 3
Resolvendo a equação:
Então, as curvas se intersectam nos pontos
e
.
Passo 4
Agora, vamos esboçar as curvas. A primeira função,
, é uma parábola que abre para cima, deslocada 1 unidade para cima. A segunda função,
, é uma parábola que abre para baixo, com vértice no ponto (0,9). A região
está entre
e
, onde a parábola de cima é
e a de baixo é
.
Passo 5
Para encontrar o volume do sólido gerado pela rotação da região
em torno da reta
, vamos usar o método dos anéis (ou washers). Esse método envolve calcular a diferença entre as áreas dos círculos externos e internos formados pela rotação.
Passo 6
A fórmula geral para o volume usando o método dos anéis é:
Onde:
-
é a distância do eixo de rotação até a curva de cima. -
é a distância do eixo de rotação até a curva de baixo. -
e são os limites de integração (nossos pontos de interseção, e ).
Passo 7
Calculando
e
:
- A curva de cima é
. A distância até é . - A curva de baixo é
. A distância até é .
Passo 8
Substituindo na fórmula do volume:
Esse é o valor expresso em termos de integrais que representa o volume do sólido formado pela rotação da região
em torno da reta
.
Resposta
O volume do sólido é dado por:
Exercícios relacionados
Determine um número
para o
dado tal que se
então
.
(b) .
(b)
Prove cada proposição usando a definição
de limite.
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