Esboce a região delimitada pelas curvas . Expresse, por meio de integrais, o volume do sólido obtido pela rotação de em torno da reta indicada: . Não é necessário calcular as integrais.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo juntos! A questão pede para esboçarmos a região delimitada pelas curvas e . Depois, precisamos expressar, usando integrais, o volume do sólido formado ao girar essa região em torno da reta . Para isso, vamos precisar entender onde essas curvas se intersectam e usar o método dos discos ou anéis para encontrar o volume.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as curvas se cruzam, ou seja, onde . Isso nos ajuda a determinar os limites de integração.

Passo 3

Resolvendo a equação:
Então, as curvas se intersectam nos pontos e .

Passo 4

Agora, vamos esboçar as curvas. A primeira função, , é uma parábola que abre para cima, deslocada 1 unidade para cima. A segunda função, , é uma parábola que abre para baixo, com vértice no ponto (0,9). A região está entre e , onde a parábola de cima é e a de baixo é .

Passo 5

Para encontrar o volume do sólido gerado pela rotação da região em torno da reta , vamos usar o método dos anéis (ou washers). Esse método envolve calcular a diferença entre as áreas dos círculos externos e internos formados pela rotação.

Passo 6

A fórmula geral para o volume usando o método dos anéis é:
Onde:
  • é a distância do eixo de rotação até a curva de cima.
  • é a distância do eixo de rotação até a curva de baixo.
  • e são os limites de integração (nossos pontos de interseção, e ).

Passo 7

Calculando e :
  • A curva de cima é . A distância até é .
  • A curva de baixo é . A distância até é .

Passo 8

Substituindo na fórmula do volume:
Esse é o valor expresso em termos de integrais que representa o volume do sólido formado pela rotação da região em torno da reta .

Resposta

O volume do sólido é dado por:

Exercícios relacionados

Calcule
Esboce a região delimitada pelas curvas e expresse sua área em termos de integrais. Não é necessário calcular as integrais.
Determine um número para o dado tal que se então .
(b) .
Prove cada proposição usando a definição de limite.
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