Esboce a região delimitada pelas curvas e expresse sua área em termos de integrais. Não é necessário calcular as integrais.

Passo 1

Vamos lá! O que temos aqui é um exercício que pede para desenhar a região delimitada pelas curvas e . Depois, precisamos expressar a área dessa região usando integrais. Para resolver isso, vamos precisar entender como essas curvas se comportam e onde elas se encontram.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar cada uma das curvas:
  1. Linha reta : Essa é uma reta com inclinação 1 e intercepto no ponto (0,1) no eixo y.
  2. Parábola : Essa é uma parábola que abre para a direita. Podemos reescrevê-la como para facilitar a visualização.

Passo 3

Para esboçar a região , é importante encontrar os pontos onde essas duas curvas se intersectam. Esses pontos vão definir os limites da região que queremos calcular a área.

Passo 4

Vamos encontrar os pontos de interseção resolvendo o sistema das duas equações:
Como ambas as expressões são iguais a , podemos igualar as duas:

Passo 5

Resolvendo a equação :
Então, temos duas soluções: e .

Passo 6

Agora, vamos encontrar os valores de correspondentes a esses valores de :
  • Para :
    Ponto de interseção:
  • Para :
    Ponto de interseção:

Passo 7

Agora que sabemos onde as curvas se intersectam, vamos determinar qual delas está à direita ou à esquerda na região entre e . Escolhemos um valor de entre 0 e 1, por exemplo, :
  • Para :
Comparando os valores de , vemos que (da reta) está à direita de (da parábola).

Passo 8

Isso significa que, na região entre e , a curva está à direita da curva . Portanto, para calcular a área, vamos subtrair a função da parábola da função da reta.

Passo 9

Para expressar a área em termos de integrais, vamos integrar a diferença das funções em relação a , desde até . A fórmula geral para a área entre duas curvas é:
Aplicando isso ao nosso caso:
Simplificando dentro da integral:

Resposta

A área da região é dada pela integral:

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Esboce a região delimitada pelas curvas . Expresse, por meio de integrais, o volume do sólido obtido pela rotação de em torno da reta indicada: eixo
Determine:
Por partes,
1,0
Calcule
Esboce a região delimitada pelas curvas . Expresse, por meio de integrais, o volume do sólido obtido pela rotação de em torno da reta indicada: . Não é necessário calcular as integrais.