Esboce a região
delimitada pelas curvas
e expresse sua área em termos de integrais. Não é necessário calcular as integrais.
Passo 1
Vamos lá! O que temos aqui é um exercício que pede para desenhar a região
delimitada pelas curvas
e
. Depois, precisamos expressar a área dessa região usando integrais. Para resolver isso, vamos precisar entender como essas curvas se comportam e onde elas se encontram.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar cada uma das curvas:
- Linha reta
: Essa é uma reta com inclinação 1 e intercepto no ponto (0,1) no eixo y. - Parábola
: Essa é uma parábola que abre para a direita. Podemos reescrevê-la como para facilitar a visualização.
Passo 3
Para esboçar a região
, é importante encontrar os pontos onde essas duas curvas se intersectam. Esses pontos vão definir os limites da região que queremos calcular a área.
Passo 4
Vamos encontrar os pontos de interseção resolvendo o sistema das duas equações:
Como ambas as expressões são iguais a
, podemos igualar as duas:
Passo 5
Resolvendo a equação
:
Então, temos duas soluções:
e
.
Passo 6
Agora, vamos encontrar os valores de
correspondentes a esses valores de
:
-
Para
: Ponto de interseção: -
Para
: Ponto de interseção:
Passo 7
Agora que sabemos onde as curvas se intersectam, vamos determinar qual delas está à direita ou à esquerda na região entre
e
. Escolhemos um valor de
entre 0 e 1, por exemplo,
:
- Para
:
Comparando os valores de
, vemos que
(da reta) está à direita de
(da parábola).
Passo 8
Isso significa que, na região entre
e
, a curva
está à direita da curva
. Portanto, para calcular a área, vamos subtrair a função da parábola da função da reta.
Passo 9
Para expressar a área em termos de integrais, vamos integrar a diferença das funções em relação a
, desde
até
. A fórmula geral para a área entre duas curvas é:
Aplicando isso ao nosso caso:
Simplificando dentro da integral:
Resposta
A área da região
é dada pela integral:
Exercícios relacionados
Determine:
Por partes,
Por partes,
1,0