Esboce a região
delimitada pelas curvas
. Expresse, por meio de integrais, o volume do sólido obtido pela rotação de
em torno da reta indicada: eixo
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar a região
que está limitada pelas curvas
e
. Depois, vamos calcular o volume do sólido que resulta ao girar essa região em torno do eixo
. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e cálculo integral, especialmente o método dos discos ou anéis.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar onde as duas curvas se interceptam. Isso ajuda a determinar os limites da região
. Igualando
e
:
Resolvendo para
:
Então, as curvas se cruzam nos pontos
e
.
Passo 3
Agora, vamos esboçar as duas curvas para visualizar a região
:
-
é uma parábola que abre para cima, com vértice no ponto . -
é uma parábola que abre para baixo, com vértice no ponto .
Entre
e
, a curva
está acima de
, formando a região fechada
.
Passo 4
Para encontrar o volume do sólido gerado pela rotação da região
em torno do eixo
, vamos usar o método dos anéis (ou método dos discos/washer). Esse método envolve calcular a diferença entre áreas de círculos gerados pelas duas curvas em cada ponto
.
A fórmula geral para o volume
é:
Onde:
-
é a função que está mais acima (no nosso caso, ), -
é a função que está mais abaixo (no nosso caso, ), -
são os limites de integração (neste caso, a ).
Passo 5
Aplicando as funções e os limites encontrados ao método dos anéis, temos:
Essa integral representa o volume do sólido obtido pela rotação da região
em torno do eixo
.
Resposta
O volume do sólido obtido pela rotação da região
em torno do eixo
pode ser expresso pela integral:
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Determine:
Por partes,
Por partes,
1,0
Determine: