Esboce a região delimitada pelas curvas . Expresse, por meio de integrais, o volume do sólido obtido pela rotação de em torno da reta indicada: eixo

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar a região que está limitada pelas curvas e . Depois, vamos calcular o volume do sólido que resulta ao girar essa região em torno do eixo . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e cálculo integral, especialmente o método dos discos ou anéis.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar onde as duas curvas se interceptam. Isso ajuda a determinar os limites da região . Igualando e :
Resolvendo para :
Então, as curvas se cruzam nos pontos e .

Passo 3

Agora, vamos esboçar as duas curvas para visualizar a região :
  • é uma parábola que abre para cima, com vértice no ponto .
  • é uma parábola que abre para baixo, com vértice no ponto .
Entre e , a curva está acima de , formando a região fechada .

Passo 4

Para encontrar o volume do sólido gerado pela rotação da região em torno do eixo , vamos usar o método dos anéis (ou método dos discos/washer). Esse método envolve calcular a diferença entre áreas de círculos gerados pelas duas curvas em cada ponto .
A fórmula geral para o volume é:
Onde:
  • é a função que está mais acima (no nosso caso, ),
  • é a função que está mais abaixo (no nosso caso, ),
  • são os limites de integração (neste caso, a ).

Passo 5

Aplicando as funções e os limites encontrados ao método dos anéis, temos:
Essa integral representa o volume do sólido obtido pela rotação da região em torno do eixo .

Resposta

O volume do sólido obtido pela rotação da região em torno do eixo pode ser expresso pela integral:

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Determine:
Por partes,
1,0
Determine:
Esboce a região delimitada pelas curvas e expresse sua área em termos de integrais. Não é necessário calcular as integrais.
Calcule