Calcule lim h 0 f(a+h)-f(a)h, onde f(x)=e^x e a in R é uma constante.

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é um limite que representa a derivada da função em um ponto qualquer . A matéria que estamos lidando é Cálculo Diferencial, especificamente o conceito de derivada através de limites. Para resolver isso, vamos precisar entender como funcionam os limites e a definição de derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir a função na expressão do limite. A função é limh 0 e^a+h - e^ah , então e . A expressão do limite fica:

Passo 3

Agora, vamos simplificar o numerador. Podemos fatorar e^a+h = e^a cdot e^h de ambos os termos:
e^a cdot e^h - e^ah = e^a cdot e^h - 1h
Então, substituindo:

Passo 4

Agora, focamos no limite restante:
limh 0 e^h - 1h
Esse limite é uma definição fundamental para a derivada de limh 0 e^h - 1h = 1 , e sabemos que ele é igual a 1. Portanto:

Passo 5

Agora, multiplicamos esse resultado por e^a cdot 1 = e^a :

Resposta

O limite é igual a .

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