Considere f: R -> R definida por f(x) = x^2 + 3. Existem duas retas tangentes ao gráfico de f que passam pelo ponto (-1, 0). Determine a equação de cada uma delas e represente geometricamente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado nos pede para encontrar as equações das duas retas tangentes ao gráfico da função que passam pelo ponto . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas para encontrar a inclinação das retas tangentes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma reta tangente. Uma reta tangente a uma curva em um ponto específico toca a curva apenas naquele ponto e tem a mesma inclinação da curva nesse ponto. Matemáticamente, isso significa que a derivada da função no ponto de tangência nos dá a inclinação da reta tangente.

Passo 3

Vamos encontrar a derivada da função . A derivada, representada por , nos dá a inclinação da curva em qualquer ponto .
Então, a inclinação da reta tangente em qualquer ponto é .

Passo 4

Agora, vamos escrever a equação da reta tangente no ponto . Usamos a fórmula da reta na forma ponto-inclinação:
Substituindo e :
Simplificando:

Passo 5

Sabemos que essa reta tangente deve passar pelo ponto . Então, substituímos e na equação da reta:
Rearranjando os termos:

Passo 6

Agora, temos uma equação quadrática para resolver:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Onde , , e :
Então, as soluções são:

Passo 7

Agora que temos os valores de , podemos encontrar as equações das retas tangentes.
Para :
Para :

Resposta

As equações das duas retas tangentes são:

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