Considere
definida por
. Existem duas retas tangentes ao gráfico de
que passam pelo ponto
. Determine a equação de cada uma delas e represente geometricamente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado nos pede para encontrar as equações das duas retas tangentes ao gráfico da função
que passam pelo ponto
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas para encontrar a inclinação das retas tangentes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma reta tangente. Uma reta tangente a uma curva em um ponto específico toca a curva apenas naquele ponto e tem a mesma inclinação da curva nesse ponto. Matemáticamente, isso significa que a derivada da função no ponto de tangência nos dá a inclinação da reta tangente.
Passo 3
Vamos encontrar a derivada da função
. A derivada, representada por
, nos dá a inclinação da curva em qualquer ponto
.
Então, a inclinação da reta tangente em qualquer ponto
é
.
Passo 4
Agora, vamos escrever a equação da reta tangente no ponto
. Usamos a fórmula da reta na forma ponto-inclinação:
Substituindo
e
:
Simplificando:
Passo 5
Sabemos que essa reta tangente deve passar pelo ponto
. Então, substituímos
e
na equação da reta:
Rearranjando os termos:
Passo 6
Agora, temos uma equação quadrática para resolver:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
, e
:
Então, as soluções são:
Passo 7
Agora que temos os valores de
, podemos encontrar as equações das retas tangentes.
Para
:
Para
:
Resposta
As equações das duas retas tangentes são:
Exercícios relacionados
Calcule
.
Calcule
, onde
e
é uma constante.
Calcule
.
Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto de abscissa
.