Calcule lim x infty(1+2x)^x+3.

Passo 1

Vamos resolver o limite lim x infty(1+2x)^x+3. Esse problema está relacionado ao cálculo de limites, especificamente ao uso da definição da constante matemática e através de limites. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar propriedades de limites e a definição de e quando lidamos com expressões da forma (1+ax)^x.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão original para facilitar a análise:
(1 + 2x)^x + 3 = (1 + 2x)^x times (1 + 2x)^3
Aqui, separamos a potência x + 3 em duas partes: x e 3, utilizando a propriedade das potências que diz que a^b+c = a^b times a^c.

Passo 3

Agora, vamos analisar cada parte separadamente. Primeiro, consideramos o limite de (1 + 2x)^x quando x tende ao infinito. Sabemos que:
limx to infty (1 + ax)^x = e^a
Neste caso, a = 2, então:
limx to infty (1 + 2x)^x = e^2

Passo 4

Em seguida, analisamos o limite de (1 + 2x)^3 quando x tende ao infinito. Observamos que à medida que x aumenta, 2x se aproxima de 0, então:
limx to infty (1 + 2x)^3 = (1 + 0)^3 = 1^3 = 1

Passo 5

Agora, juntando os dois resultados obtidos:
lim x infty(1+2x)^x+3 = limx to infty (1 + 2x)^x times limx to infty (1 + 2x)^3 = e^2 times 1 = e^2

Resposta

lim x infty(1+2x)^x+3 = e^2

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