Calcule lim x 4 raizx+5-3raizx-2.

Passo 1

Vamos calcular o limite quando se aproxima de 4 para a expressão . Esse problema está relacionado ao cálculo de limites, especificamente lidando com expressões que envolvem raízes quadradas. Para resolver, vamos precisar manipular a expressão para eliminar a forma indeterminada que aparece ao substituir diretamente .

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir raiz4+5-3raiz4-2 = raiz9-32-2 = 3-30 = 00 na expressão para ver o que acontece:
Essa forma é indeterminada, o que significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Uma técnica útil para resolver esse tipo de limite é multiplicar o numerador e o denominador pela conjugada do numerador. A conjugada de raizx+5-3raizx-2 times raizx+5+3raizx+5+3 = (raizx+5-3)(raizx+5+3)(raizx-2)(raizx+5+3) é . Vamos fazer isso:

Passo 4

Agora, vamos multiplicar os binômios no numerador usando a identidade (raizx+5)^2 - 3^2 = (x + 5) - 9 = x - 4 :
x - 4(raizx-2)(raizx+5+3)
Então, a expressão fica:

Passo 5

Perceba que x - 4 = (raizx)^2 - 2^2 = (raizx - 2)(raizx + 2) pode ser fatorado como frac(raizx - 2)(raizx + 2)(raizx-2)(raizx+5+3) = raizx + 2raizx+5+3 , que é outra diferença de quadrados. Então:
Substituindo na expressão, temos:

Passo 6

Agora, podemos cancelar o termo raizx + 2raizx+5+3 do numerador e denominador:

Passo 7

Finalmente, substituímos raiz4 + 2raiz4+5+3 = 2 + 23 + 3 = 46 = 23 na expressão simplificada:

Resposta

O limite é .

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