Calcule lim h 0 f(a+h)-f(a)h, onde f(x)=e^x e a in R é uma constante.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o limite
limh 0 f(a+h) - f(a)h
onde e é uma constante real. Esse limite representa a derivada da função no ponto , ou seja, a taxa de variação de quando se aproxima de .

Passo 2

Vamos substituir a função limh 0 e^a+h - e^ah na expressão do limite:

Passo 3

Podemos reescrever o termo limh 0 e^a cdot e^h - e^ah como usando propriedades das potências:

Passo 4

Agora, fatoramos limh 0 e^a (e^h - 1)h no numerador:
e^a cdot limh 0 e^h - 1h
Como é constante em relação a , podemos tirá-lo de fora do limite:

Passo 5

O limite limh 0 e^h - 1h = 1 é conhecido e igual a 1. Isso porque a derivada de é mesmo, ou seja:

Passo 6

Multiplicando os resultados, temos:
e^a cdot 1 = e^a

Resposta

O limite é igual a .

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