(Teste T 1 - 2020.2) Seja
definida por:
É correto afirmar que:
a)
é bijetora e
.
b)
é sobrejetora, mas não é injetora.
c)
é bijetora e
.
d)
é bijetora e
.
e)
é injetora, mas não é sobrejetora.
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
Vamos resolver um exercício que trata de funções e suas propriedades, especificamente sobre injetividade, sobrejetividade e bijetividade. A função dada é:
Para resolver, vamos precisar entender os conceitos de injetora, sobrejetora e bijetora, além de saber como compor funções e encontrar a inversa de uma função.
Passo 2
Verificando se a função é injetora:
Uma função é injetora se cada valor de saída é produzido por apenas um valor de entrada. Vamos verificar cada parte da função:
- Para
: é uma função linear com inclinação diferente de zero, portanto, é injetora nessa parte. - Para
: é uma função quadrática. Funções quadráticas não são injetoras porque diferentes valores de podem produzir o mesmo .
Como a parte quadrática não é injetora, a função inteira
não é injetora.
Passo 3
Verificando se a função é sobrejetora:
Uma função é sobrejetora se todo valor no conjunto de chegada (no caso,
) é atingido por algum valor do domínio.
-
Para
: . À medida que tende a menos infinito, também tende a menos infinito, e quando , . -
Para
: . Essa função é uma parábola que abre para cima, com vértice no mínimo. Calculando o vértice: Substituindo na função:Portanto, para, começa em 3 (quando ) e cresce para mais infinito.
Juntando as duas partes,
cobre todos os valores a partir de menos infinito até mais infinito, exceto possivelmente alguns valores entre -1 e 3. No entanto, dado que a parte linear cobre até 3 e a parte quadrática começa também em 3, todos os valores são cobertos. Portanto, a função é sobrejetora.
Passo 4
Conclusão sobre a bijetividade:
Uma função é bijetora se for tanto injetora quanto sobrejetora. Já verificamos que
não é injetora e é sobrejetora. Logo,
não é bijetora.
Passo 5
Analisando as opções:
Como concluímos que a função
é sobrejetora, mas não injetora, a opção correta é:
b)
é sobrejetora, mas não é injetora.
Resposta
b)
é sobrejetora, mas não é injetora.