(Teste T 1 - 2020.2) Seja f: R -> R definida por:
f(x) = { 3x + 3, x <= 0; x^2 + 4x + 3, x > 0 }
É correto afirmar que:
a) f é bijetora e (f o f)(-2/3)=f^(-1)(3).
b) f é sobrejetora, mas não é injetora.
c) f é bijetora e (f o f)(-2/3) = f^{-1}(21).
d) f é bijetora e (f o f)(-2/3) = f^(-1)(99).
e) f é injetora, mas não é sobrejetora.

Passo 1

Vamos resolver um exercício que trata de funções e suas propriedades, especificamente sobre injetividade, sobrejetividade e bijetividade. A função dada é:
Para resolver, vamos precisar entender os conceitos de injetora, sobrejetora e bijetora, além de saber como compor funções e encontrar a inversa de uma função.

Passo 2

Verificando se a função é injetora:
Uma função é injetora se cada valor de saída é produzido por apenas um valor de entrada. Vamos verificar cada parte da função:
  • Para : é uma função linear com inclinação diferente de zero, portanto, é injetora nessa parte.
  • Para : é uma função quadrática. Funções quadráticas não são injetoras porque diferentes valores de podem produzir o mesmo .
Como a parte quadrática não é injetora, a função inteira não é injetora.

Passo 3

Verificando se a função é sobrejetora:
Uma função é sobrejetora se todo valor no conjunto de chegada (no caso, ) é atingido por algum valor do domínio.
  • Para : . À medida que tende a menos infinito, também tende a menos infinito, e quando , .
  • Para : . Essa função é uma parábola que abre para cima, com vértice no mínimo. Calculando o vértice:
    Substituindo na função:
    Portanto, para , começa em 3 (quando ) e cresce para mais infinito.
Juntando as duas partes, cobre todos os valores a partir de menos infinito até mais infinito, exceto possivelmente alguns valores entre -1 e 3. No entanto, dado que a parte linear cobre até 3 e a parte quadrática começa também em 3, todos os valores são cobertos. Portanto, a função é sobrejetora.

Passo 4

Conclusão sobre a bijetividade:
Uma função é bijetora se for tanto injetora quanto sobrejetora. Já verificamos que não é injetora e é sobrejetora. Logo, não é bijetora.

Passo 5

Analisando as opções:
Como concluímos que a função é sobrejetora, mas não injetora, a opção correta é:
b) é sobrejetora, mas não é injetora.

Resposta

b) é sobrejetora, mas não é injetora.

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