Considere a curva dada implicitamente pela equação . Em quais pontos sobre a curva a reta tangente é horizontal?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma curva definida pela equação e precisa encontrar os pontos onde a tangente a essa curva é horizontal. Isso envolve conceitos de derivadas e geometria analítica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ter uma reta tangente horizontal. Uma reta é horizontal quando sua inclinação, ou seja, a derivada , é igual a zero. Então, nosso objetivo é encontrar para a curva dada e determinar onde ela é igual a zero.

Passo 3

Como a equação da curva é implícita (isto é, não está isolada em termos de ), vamos usar a derivação implícita para encontrar . A derivada implícita nos permite diferenciar ambos os lados da equação em relação a , tratando como uma função de .

Passo 4

Vamos diferenciar cada termo da equação em relação a :
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de em relação a é (usando a regra da cadeia).
  • A derivada de em relação a é (usando a regra do produto).
Portanto, temos:

Passo 5

Agora, vamos resolver essa equação para . Vamos reunir os termos que contêm de um lado e os demais termos do outro:
Fatorando :
Então, isolando :

Passo 6

Para que a reta tangente seja horizontal, a derivada deve ser igual a zero. Portanto, igualamos o numerador a zero:
Simplificando:

Passo 7

Agora, substituímos na equação original da curva para encontrar os valores de :
Simplificando:
Multiplicando todos os termos por 9 para eliminar a fração:

Passo 8

Com , substituímos de volta na relação para encontrar :

Resposta

A reta tangente à curva é horizontal no ponto .

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