Considere a curva
dada implicitamente pela equação
. Em quais pontos sobre a curva
a reta tangente é horizontal?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma curva definida pela equação
e precisa encontrar os pontos onde a tangente a essa curva é horizontal. Isso envolve conceitos de derivadas e geometria analítica.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ter uma reta tangente horizontal. Uma reta é horizontal quando sua inclinação, ou seja, a derivada
, é igual a zero. Então, nosso objetivo é encontrar
para a curva dada e determinar onde ela é igual a zero.
Passo 3
Como a equação da curva é implícita (isto é, não está isolada em termos de
), vamos usar a derivação implícita para encontrar
. A derivada implícita nos permite diferenciar ambos os lados da equação em relação a
, tratando
como uma função de
.
Passo 4
Vamos diferenciar cada termo da equação
em relação a
:
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é (usando a regra da cadeia). - A derivada de
em relação a é (usando a regra do produto).
Portanto, temos:
Passo 5
Agora, vamos resolver essa equação para
. Vamos reunir os termos que contêm
de um lado e os demais termos do outro:
Fatorando
:
Então, isolando
:
Passo 6
Para que a reta tangente seja horizontal, a derivada
deve ser igual a zero. Portanto, igualamos o numerador a zero:
Simplificando:
Passo 7
Agora, substituímos
na equação original da curva para encontrar os valores de
:
Simplificando:
Multiplicando todos os termos por 9 para eliminar a fração:
Passo 8
Com
, substituímos de volta na relação
para encontrar
:
Resposta
A reta tangente à curva
é horizontal no ponto
.
Exercícios relacionados
Verifique se as sentenças abaixo são verdadeiras ou falsas (V ou F).
A série é convergente e seu valor é
;
A série
Verifique se as sentenças abaixo são verdadeiras ou falsas (V ou F).
A série é divergente;
A série
Verifique se as sentenças abaixo são verdadeiras ou falsas (V ou F).
A função é solução da edo
.
A função
Calcule
para cada função abaixo em seu respectivo domínio