Calcule lim h 0 f(beta+h)-f(beta)h para cada função abaixo em seu respectivo domínio
f(x)=x^3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite para a função . Esse tipo de problema está na área de Cálculo Diferencial, especificamente relacionado ao conceito de derivada. Para resolver, vamos precisar entender como calcular limites e aplicar a definição de derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir a função lim h 0 (beta + h)^3 - beta^3h na expressão do limite. Isso significa substituir por e por . Então, nossa expressão fica:

Passo 3

Agora, vamos expandir (beta + h)^3 = beta^3 + 3beta^2 h + 3beta h^2 + h^3 usando a fórmula do cubo da soma:
lim h 0 beta^3 + 3beta^2 h + 3beta h^2 + h^3 - beta^3h
Substituindo de volta na expressão do limite:

Passo 4

Simplificando a expressão dentro do limite, as lim h 0 3beta^2 h + 3beta h^2 + h^3h se cancelam:

Passo 5

Agora, vamos dividir cada termo do numerador por lim h 0 (3beta^2 + 3beta h + h^2) :

Passo 6

Como 3beta^2 + 0 + 0 = 3beta^2 está tendendo a 0, os termos e vão se tornar 0. Então, a expressão simplifica para:

Resposta

O limite é .

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