integral 1(4 x^2-4)^3 / 2 d x

Passo 1

Vamos resolver a integral . Esse exercício envolve cálculo integral, especificamente técnicas de integração que lidam com funções racionais e potências. Para resolver, vamos precisar fatorar a expressão dentro da integral e aplicar uma substituição apropriada.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador da fração. Observe que 4x^2 - 4 = 4(x^2 - 1) pode ser fatorado:
integral 1(4(x^2 - 1))^3/2 , dx
Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos simplificar a expressão (4(x^2 - 1))^3/2 = 4^3/2 cdot (x^2 - 1)^3/2 = 8 cdot (x^2 - 1)^3/2 . Sabemos que:
integral 18 (x^2 - 1)^3/2 , dx = 18 integral 1(x^2 - 1)^3/2 , dx
Portanto, a integral se torna:

Passo 4

Para resolver integral 1(x^2 - a^2)^3/2 , dx = xa^2 raizx^2 - a^2 + C , usamos uma técnica de substituição. Sabemos que a integral de integral 1(x^2 - 1)^3/2 , dx = xraizx^2 - 1 + C é:
No nosso caso, , então:

Resposta

Portanto, a solução da integral é:
x8 raizx^2 - 1 + C

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