integral x^2-3 x+6(x^2-4 x+6)^2 d x

Passo 1

Vamos resolver a integral . Nessa questão, vamos usar técnicas de integração envolvendo substituição e frações parciais. Precisaremos manipular a expressão para simplificar a integral e aplicar fórmulas básicas de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador completando o quadrado. Observamos que pode ser reescrito como . Isso ajuda a facilitar a substituição que faremos a seguir.

Passo 3

Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Seja integral (u+2)^2 - 3(u+2) + 6(u^2 + 2)^2 , du , então e . Substituindo na integral, temos:

Passo 4

Expandindo e simplificando o numerador:
(u+2)^2 - 3(u+2) + 6 = u^2 + 4u + 4 - 3u - 6 + 6 = u^2 + u + 4
Então, a integral fica:
integral u^2 + u + 4(u^2 + 2)^2 , du

Passo 5

Vamos separar a fração em duas partes para facilitar a integração:
u^2 + u + 4(u^2 + 2)^2 = u^2 + 2(u^2 + 2)^2 + u + 2(u^2 + 2)^2 = 1u^2 + 2 + u + 2(u^2 + 2)^2
Assim, a integral se divide em:
integral 1u^2 + 2 , du + integral u + 2(u^2 + 2)^2 , du

Passo 6

Vamos resolver cada parte separadamente. Primeiramente, a integral 1raiz2 arctan(uraiz2) + C é uma fórmula padrão que resulta em:

Passo 7

Agora, vamos resolver a segunda integral integral u(u^2 + 2)^2 , du + integral 2(u^2 + 2)^2 , du . Podemos separar essa integral em duas partes:

Passo 8

Para a primeira parte 12 integral 1v^2 , dv = -12v + C = -12(u^2 + 2) + C , fazemos a substituição , então , ou seja, . A integral se torna:

Passo 9

Para a segunda parte integral 1(u^2 + a^2)^2 , du = u2a^2(u^2 + a^2) + 12a^3 arctan(ua) + C , usamos a fórmula:
integral 2(u^2 + 2)^2 , du = u4(u^2 + 2) + 12raiz2 arctan(uraiz2) + C
No nosso caso, , então:

Passo 10

Agora, combinando todas as partes, temos:
integral u + 2(u^2 + 2)^2 , du = -12(u^2 + 2) + u4(u^2 + 2) + 12raiz2 arctan(uraiz2) + C
Simplificando:
u - 12(u^2 + 2) + 12raiz2 arctan(uraiz2) + C

Passo 11

Voltando à variável original (x - 2) - 12((x - 2)^2 + 2) + 12raiz2 arctan(x - 2raiz2) + C , lembrando que x - 32(x^2 - 4x + 6) + 12raiz2 arctan(x - 2raiz2) + C , temos:
Simplificando:

Resposta

A integral é igual a
32raiz2, arctan(x - 2raiz2) + x - 32(x^2 - 4x + 6) + C
onde é a constante de integração.

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