Passo 1
Vamos resolver a integral
. Nessa questão, vamos usar técnicas de integração envolvendo substituição e frações parciais. Precisaremos manipular a expressão para simplificar a integral e aplicar fórmulas básicas de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o denominador completando o quadrado. Observamos que
pode ser reescrito como
. Isso ajuda a facilitar a substituição que faremos a seguir.
Passo 3
Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Seja
, então
e
. Substituindo na integral, temos:
Passo 4
Expandindo e simplificando o numerador:
Então, a integral fica:
Passo 5
Vamos separar a fração em duas partes para facilitar a integração:
Assim, a integral se divide em:
Passo 6
Vamos resolver cada parte separadamente. Primeiramente, a integral
é uma fórmula padrão que resulta em:
Passo 7
Agora, vamos resolver a segunda integral
. Podemos separar essa integral em duas partes:
Passo 8
Para a primeira parte
, fazemos a substituição
, então
, ou seja,
. A integral se torna:
Passo 9
Para a segunda parte
, usamos a fórmula:
No nosso caso,
, então:
Passo 10
Agora, combinando todas as partes, temos:
Simplificando:
Passo 11
Voltando à variável original
, lembrando que
, temos:
Simplificando:
Resposta
A integral é igual a
onde
é a constante de integração.