Passo 1

Vamos resolver a integral . Nessa questão, vamos usar técnicas de integração envolvendo substituição e frações parciais. Precisaremos manipular a expressão para simplificar a integral e aplicar fórmulas básicas de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador completando o quadrado. Observamos que pode ser reescrito como . Isso ajuda a facilitar a substituição que faremos a seguir.

Passo 3

Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Seja , então e . Substituindo na integral, temos:

Passo 4

Expandindo e simplificando o numerador:
Então, a integral fica:

Passo 5

Vamos separar a fração em duas partes para facilitar a integração:
Assim, a integral se divide em:

Passo 6

Vamos resolver cada parte separadamente. Primeiramente, a integral é uma fórmula padrão que resulta em:

Passo 7

Agora, vamos resolver a segunda integral . Podemos separar essa integral em duas partes:

Passo 8

Para a primeira parte , fazemos a substituição , então , ou seja, . A integral se torna:

Passo 9

Para a segunda parte , usamos a fórmula:
No nosso caso, , então:

Passo 10

Agora, combinando todas as partes, temos:
Simplificando:

Passo 11

Voltando à variável original , lembrando que , temos:
Simplificando:

Resposta

A integral é igual a
onde é a constante de integração.

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