Calcule
lim h 0 f(x0+h)-f(x0)h
em cada caso a seguir:
f(x)=x^n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite que é um jeito formal de calcular a derivada de uma função. A questão pede para a gente calcular:
lim h 0 f(x0+h)-f(x0)h
Aqui, a função é f(x) = x^n. Para resolver isso, vamos usar a regra de potência da derivada, que nos ajuda a encontrar a taxa de variação de funções polinomiais.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir f(x) na expressão do limite:
lim h 0 (x0+h)^n - x0^nh
Agora, precisamos expandir (x0 + h)^n. Para isso, usamos o Teorema do Binômio de Newton, que nos diz como expandir potências de somas.

Passo 3

Expandindo (x0 + h)^n:
(x0 + h)^n = x0^n + n x0^n-1 h + n(n-1)2x0^n-2h^2 + dots + h^n
Como estamos tomando o limite quando h se aproxima de 0, termos com h^2, h^3, etc., vão se tornar muito pequenos e podemos ignorá-los para simplificar.

Passo 4

Substituindo a expansão de volta na expressão do limite:
lim h 0 x0^n + n x0^n-1 h + termos com h^2 + dots + h^n - x0^nh
Os termos x0^n se cancelam:
lim h 0 n x0^n-1 h + termos com h^2 + dots + h^nh

Passo 5

Agora, vamos dividir cada termo no numerador por h:
lim h 0 ( n x0^n-1 + termos com h + dots + h^n-1 )
Quando h tende a 0, todas as partes que têm h multiplicando vão se tornar 0.

Passo 6

Portanto, o limite simplifica para apenas:
n x0^n-1

Resposta

O limite é n x0^n-1.

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