Calcule
em cada caso a seguir:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite que é um jeito formal de calcular a derivada de uma função. A questão pede para a gente calcular:
Aqui, a função é . Para resolver isso, vamos usar a regra de potência da derivada, que nos ajuda a encontrar a taxa de variação de funções polinomiais.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir na expressão do limite:
Agora, precisamos expandir . Para isso, usamos o Teorema do Binômio de Newton, que nos diz como expandir potências de somas.

Passo 3

Expandindo :
Como estamos tomando o limite quando se aproxima de 0, termos com , , etc., vão se tornar muito pequenos e podemos ignorá-los para simplificar.

Passo 4

Substituindo a expansão de volta na expressão do limite:
Os termos se cancelam:

Passo 5

Agora, vamos dividir cada termo no numerador por :
Quando tende a 0, todas as partes que têm multiplicando vão se tornar 0.

Passo 6

Portanto, o limite simplifica para apenas:

Resposta

O limite é .

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Sabendo que e , determine os limites abaixo, caso existam:
Explique o significado de cada uma das notações a seguir.
Calcule o limite, se existir.
Encontre o limite ou demostre que não existe