Calcule
em cada caso a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite que é um jeito formal de calcular a derivada de uma função. A questão pede para a gente calcular:
Aqui, a função é
. Para resolver isso, vamos usar a regra de potência da derivada, que nos ajuda a encontrar a taxa de variação de funções polinomiais.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir
na expressão do limite:
Agora, precisamos expandir
. Para isso, usamos o Teorema do Binômio de Newton, que nos diz como expandir potências de somas.
Passo 3
Expandindo
:
Como estamos tomando o limite quando
se aproxima de 0, termos com
,
, etc., vão se tornar muito pequenos e podemos ignorá-los para simplificar.
Passo 4
Substituindo a expansão de volta na expressão do limite:
Os termos
se cancelam:
Passo 5
Agora, vamos dividir cada termo no numerador por
:
Quando
tende a 0, todas as partes que têm
multiplicando vão se tornar 0.
Passo 6
Portanto, o limite simplifica para apenas:
Resposta
O limite é
.
Exercícios relacionados
Sabendo que
e
, determine os limites abaixo, caso existam:
Explique o significado de cada uma das notações a seguir.
Calcule o limite, se existir.
Encontre o limite ou demostre que não existe