Calcule o limite, se existir.
lim h 0 raiz9-h-3h

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite que você me mandou:
lim h 0 raiz9-h-3h
Aqui, estamos trabalhando com limites e funções radicais. Para resolver isso, vamos precisar usar uma técnica chamada racionalização, que ajuda a simplificar expressões com raízes quadradas.

Passo 2

Primeiro, vamos notar que, se tentarmos substituir diretamente na expressão, teremos uma forma indeterminada . Isso significa que precisamos manipular a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

A estratégia é racionalizar o numerador. Para fazer isso, vamos multiplicar o numerador e o denominador pela conjugada do numerador. A conjugada de raiz9-h-3h times raiz9-h+3raiz9-h+3 é . Então, multiplicamos assim:

Passo 4

Agora, vamos multiplicar os numeradores e os denominadores:
Numerador:
(raiz9-h - 3)(raiz9-h + 3) = (raiz9-h)^2 - 3^2 = (9 - h) - 9 = -h
Denominador:
h (raiz9-h + 3)
Então, a expressão fica:
-hh (raiz9-h + 3)

Passo 5

Agora, podemos simplificar o -1raiz9-h + 3 que está no numerador e no denominador:

Passo 6

Com a expressão simplificada, podemos calcular o limite substituindo -1raiz9-0 + 3 = -13 + 3 = -16 :

Resposta

O limite é .

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