Sabendo que lim x 1 f(x)=0, lim x 1 g(x)=2 e lim x 1 h(x)=-1, determine os limites abaixo, caso existam:
lim x 1 h(x)(g(x))^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para encontrar o limite de h(x)(g(x))^2 quando x se aproxima de 1. Estamos trabalhando com o conteúdo de limites, e vamos precisar usar as propriedades dos limites, como a regra do quociente e a regra da potência.

Passo 2

Primeiro, vamos ver o que sabemos sobre as funções. Sabemos que:
  • lim x 1 h(x) = -1
Isso significa que, conforme x se aproxima de 1, a função h(x) se aproxima de -1.

Passo 3

Agora, vamos analisar o denominador da nossa fração, que é (g(x))^2. Sabemos que:
  • lim x 1 g(x) = 2
Quando temos uma potência em um limite, usamos a regra da potência, que nos diz que o limite da potência é igual à potência do limite. Ou seja:
lim x 1 (g(x))^2 = ( lim x 1 g(x) )^2 = 2^2 = 4

Passo 4

Agora, vamos usar a regra do quociente dos limites, que diz que o limite de uma fração é a fração dos limites, desde que o limite do denominador não seja zero. Temos:
lim x 1 h(x)(g(x))^2 = lim x 1 h(x) lim x 1 (g(x))^2 = -1 4

Resposta

Portanto, o limite é boxed-dfrac14.

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