Calcule
lim h 0 f(x0+h)-f(x0)h
em cada caso a seguir:
f(x)=x^4

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite
lim h 0 f(x0+h)-f(x0)h
para a função . Esse tipo de limite é usado para encontrar a derivada de uma função, que nos diz a taxa de variação da função em um ponto específico. Vamos precisar entender como manipular expressões algébricas e aplicar conceitos básicos de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir a função lim h 0 (x0+h)^4 - x0^4h na expressão do limite. Isso nos dá:

Passo 3

Agora, precisamos expandir (x0 + h)^4 = x0^4 + 4x0^3h + 6x0^2h^2 + 4x0h^3 + h^4 . Vamos usar o binômio de Newton para expandir:

Passo 4

Substituindo essa expansão na expressão do limite, temos:
lim h 0 x0^4 + 4x0^3h + 6x0^2h^2 + 4x0h^3 + h^4 - x0^4h

Passo 5

Simplificando o numerador, o lim h 0 4x0^3h + 6x0^2h^2 + 4x0h^3 + h^4h cancela:

Passo 6

Agora, vamos fatorar o lim h 0 h(4x0^3 + 6x0^2h + 4x0h^2 + h^3)h no numerador:

Passo 7

O lim h 0 (4x0^3 + 6x0^2h + 4x0h^2 + h^3) no numerador e denominador se cancelam, ficando:

Passo 8

Agora, ao fazer 4x0^3 + 0 + 0 + 0 = 4x0^3 tender a 0, todas as parcelas que têm se tornam zero:

Resposta

O limite é igual a .

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