Sabendo que lim x 1 f(x)=0, lim x 1 g(x)=2 e lim x 1 h(x)=-1, determine os limites abaixo, caso existam:
lim x 1 h(x)+g(x)f(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente quer encontrar o limite de uma função quando se aproxima de 1. O enunciado nos dá os limites de , e quando vai para 1. Vamos precisar usar as propriedades dos limites e entender como manipular frações que envolvem limites.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar quais são os limites que já conhecemos:
limx to 1 f(x) = 0
limx to 1 g(x) = 2
limx to 1 h(x) = -1

Passo 3

Queremos encontrar:
limx to 1 h(x) + g(x)f(x)
Vamos primeiro simplificar o numerador somando e .

Passo 4

Calculando o limite do numerador:
limx to 1 [h(x) + g(x)] = limx to 1 h(x) + limx to 1 g(x) = -1 + 2 = 1

Passo 5

Agora, analisamos o denominador:
limx to 1 f(x) = 0
Então, temos uma situação onde o numerador tende a 1 e o denominador tende a 0.

Passo 6

Quando o denominador tende a zero e o numerador tende a um valor diferente de zero, o limite tende ao infinito ou menos infinito, dependendo dos sinais. Vamos verificar o comportamento de limx to 1 10^+ = +infty perto de 1.
Como não temos mais informações sobre , assumimos que o denominador se aproxima de 0 de forma positiva. Portanto:

Resposta

limx to 1 h(x) + g(x)f(x) = +infty

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