Calcule lim x +infty (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)(x-7)(x-8)(x-9)(x-10)(x^2+1)^5.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcular . Aqui, estamos lidando com funções polinomiais e limites no infinito. Para resolver isso, vamos precisar entender como os termos de maior grau nas funções influenciam o limite quando cresce sem parar.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o numerador: . Se a gente multiplicar todos esses termos, a expressão resultante será um polinômio de grau 10, já que cada contribui com um grau 1.

Passo 3

Agora, no denominador, temos . Quando expandimos isso, vemos que o termo de maior grau é , porque elevado à quinta potência dá . Então, o denominador também é um polinômio de grau 10.

Passo 4

Para calcular o limite quando tende a mais infinito, a gente foca nos termos de maior grau tanto no numerador quanto no denominador. Isso porque, para valores muito grandes de , esses termos dominam o comportamento da função.

Passo 5

Vamos identificar os coeficientes dos termos de maior grau. No numerador, quando multiplicamos , o termo de maior grau é , e o coeficiente é 1 (já que multiplicamos 10 fatores de sem nenhum coeficiente diferente).

Passo 6

No denominador, como vimos, expande para , onde novamente o termo de maior grau é e o coeficiente é 1.

Passo 7

Agora, nosso limite se torna:
lim x +infty x^10x^10 = 11 = 1
Porque os coeficientes dos termos de maior grau no numerador e no denominador são iguais.

Resposta

O limite é igual a 1.

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