Determine cada um dos limites dados a seguir.
(h) lim x +infty arctg(x^2-x^4),

Passo 1

Vamos resolver o limite . Aqui, estamos lidando com limites no infinito e a função arctangente. Para resolver isso, precisamos entender como se comporta a expressão dentro da arctangente quando cresce sem limite.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento de quando tende ao infinito. Ao observarmos os expoentes, percebemos que cresce muito mais rapidamente que . Isso significa que, para valores muito grandes de , o termo vai dominar a expressão.

Passo 3

Com isso, podemos simplificar a expressão x^2 - x^4 approx -x^4 quando x +infty percebendo que, para muito grande, ela se comporta aproximadamente como . Ou seja:

Passo 4

Agora, vamos substituir essa aproximação no limite original:
lim x +infty arctan(x^2-x^4) approx lim x +infty arctan(-x^4)
Sabemos que a função se aproxima de quando tende a .

Passo 5

Como lim x +infty arctan(-x^4) = -pi2 tende a quando tende a , temos:

Resposta

lim x +infty arctan(x^2-x^4) = -pi2

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