In Problems 25-36 solve the given initial-value problem. Give the largest interval I over which the solution is defined.
25. d y/d x = x + 5 y, y(0) = 3

Passo 1

Beleza, vamos resolver o problema que é uma equação diferencial com uma condição inicial. A equação dada é , e a condição inicial é . Esse tipo de problema está relacionado ao estudo de equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial no formato padrão de uma equação linear de primeira ordem: . No nosso caso, podemos rearranjar a equação dada:
Aqui, e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante, que é uma função que multiplicaremos em ambos os lados da equação para facilitar a resolução. O fator integrante é dado por:
Substituindo :

Passo 4

Multiplicamos toda a equação pela :
O lado esquerdo da equação agora se torna a derivada do produto :
Agora, integramos ambos os lados em relação a :
A integral do lado esquerdo simplifica para . Para a integral do lado direito, usamos integração por partes:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Agora, isolamos :
Multiplicamos ambos os lados por :
Agora, aplicamos a condição inicial :
Resolvendo para :
Substituindo de volta na expressão de :

Resposta

A solução da equação diferencial é:
O maior intervalo onde a solução está definida é (todos os números reais).

Exercícios relacionados

Encontre o domínio de existência das seguintes funções:
h(t) = 1 / |t^2 - pi|
Calcule lim x +infty (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)(x-7)(x-8)(x-9)(x-10)(x^2+1)^5.
Verifique a paridade das seguintes funções:
g(x) = x / (x^2 - 1)
Verifique a paridade das seguintes funções:
k f(x) = sen(x^2)