In Problems 25-36 solve the given initial-value problem. Give the largest interval
over which the solution is defined.
25.
25.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o problema que é uma equação diferencial com uma condição inicial. A equação dada é
, e a condição inicial é
. Esse tipo de problema está relacionado ao estudo de equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial no formato padrão de uma equação linear de primeira ordem:
. No nosso caso, podemos rearranjar a equação dada:
Aqui,
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante, que é uma função que multiplicaremos em ambos os lados da equação para facilitar a resolução. O fator integrante
é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação pela
:
O lado esquerdo da equação agora se torna a derivada do produto
:
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo simplifica para
. Para a integral do lado direito, usamos integração por partes:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Agora, isolamos
:
Multiplicamos ambos os lados por
:
Agora, aplicamos a condição inicial
:
Resolvendo para
:
Substituindo
de volta na expressão de
:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
O maior intervalo
onde a solução está definida é
(todos os números reais).
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.
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