Calcule: lim t infty f(t), onde f(t)=(1-t^21+t^2, tan ^-1 t, 1-e^-2 tt) (lembrando que arctan x=tan ^-1 x= y Long<=ftrightarrow tan y=x e-pi2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que pede para encontrar o limite de uma função vetorial quando tende ao infinito. O conteúdo aqui envolve limites de funções, incluindo funções racionais, funções trigonométricas inversas e exponenciais. Para resolver, vamos calcular o limite de cada componente da função individualmente.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite da primeira componente: 1 - t^21 + t^2 = 1t^2 - 11t^2 + 1 .
Quando limt to infty 1 - t^21 + t^2 = 0 - 10 + 1 = -1 tende ao infinito, os termos dominam os demais termos. Para facilitar, dividimos o numerador e o denominador por :
À medida que vai para o infinito, tende a 0, então:

Passo 3

Agora, vamos para a segunda componente: limt to infty tan^-1 t = pi2 .
Sabemos que a função é a função arco-tangente, e ela tem limites conhecidos:
Isso porque à medida que cresce sem limite, o ângulo cujo tangente é se aproxima de radianos.

Passo 4

Por último, vamos calcular o limite da terceira componente: 1 - e^-2tt approx 1 - 0t = 1t .
Observando limt to infty 1 - e^-2tt = 0 , sabemos que quando tende ao infinito, tende a 0 porque o expoente é negativo e cresce sem limite. Assim, a expressão fica:
E, como tende ao infinito, tende a 0:

Resposta

Portanto, o limite da função limt to infty f(t) = ( -1, pi2, 0 ) quando tende ao infinito é:

Exercícios relacionados