Calcule: , onde (lembrando que .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que pede para encontrar o limite de uma função vetorial quando tende ao infinito. O conteúdo aqui envolve limites de funções, incluindo funções racionais, funções trigonométricas inversas e exponenciais. Para resolver, vamos calcular o limite de cada componente da função individualmente.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite da primeira componente: .
Quando tende ao infinito, os termos dominam os demais termos. Para facilitar, dividimos o numerador e o denominador por :
À medida que vai para o infinito, tende a 0, então:

Passo 3

Agora, vamos para a segunda componente: .
Sabemos que a função é a função arco-tangente, e ela tem limites conhecidos:
Isso porque à medida que cresce sem limite, o ângulo cujo tangente é se aproxima de radianos.

Passo 4

Por último, vamos calcular o limite da terceira componente: .
Observando , sabemos que quando tende ao infinito, tende a 0 porque o expoente é negativo e cresce sem limite. Assim, a expressão fica:
E, como tende ao infinito, tende a 0:

Resposta

Portanto, o limite da função quando tende ao infinito é:

Exercícios relacionados

Determine o domínio:
Considere a curva definida por . Dê uma equação cartesiana da curva;
Seja contínua. Prove que existe tal que , pata todo .