Calcule:
, onde
(lembrando que
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que pede para encontrar o limite de uma função vetorial quando
tende ao infinito. O conteúdo aqui envolve limites de funções, incluindo funções racionais, funções trigonométricas inversas e exponenciais. Para resolver, vamos calcular o limite de cada componente da função
individualmente.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o limite da primeira componente:
.
Quando
tende ao infinito, os termos
dominam os demais termos. Para facilitar, dividimos o numerador e o denominador por
:
À medida que
vai para o infinito,
tende a 0, então:
Passo 3
Agora, vamos para a segunda componente:
.
Sabemos que a função
é a função arco-tangente, e ela tem limites conhecidos:
Isso porque à medida que
cresce sem limite, o ângulo cujo tangente é
se aproxima de
radianos.
Passo 4
Por último, vamos calcular o limite da terceira componente:
.
Observando
, sabemos que quando
tende ao infinito,
tende a 0 porque o expoente é negativo e
cresce sem limite. Assim, a expressão fica:
E, como
tende ao infinito,
tende a 0:
Resposta
Portanto, o limite da função
quando
tende ao infinito é:
Exercícios relacionados
Determine o domínio:
Considere a curva definida por
. Dê uma equação cartesiana da curva;
Seja
contínua. Prove que existe
tal que
, pata todo
.