Calcule lim x infty raizxln (2 x+1) :
a 0
(b) 12
© infty
e 2
(d) 1

Passo 1

Nesta questão, precisamos calcular o limite . Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de cálculo de limites envolvendo funções de crescimento diferentes, como raízes quadradas e logaritmos.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento das funções no numerador e no denominador quando tende ao infinito. A função cresce sem limites conforme aumenta, e a função também cresce, mas de forma mais lenta comparada à raiz quadrada.

Passo 3

Para determinar o limite, podemos aplicar a Regra de L’Hospital, que é útil quando encontramos uma forma indeterminada como . A regra nos permite derivar o numerador e o denominador separadamente para simplificar o cálculo.

Passo 4

Vamos aplicar a Regra de L’Hospital derivando o numerador e o denominador:
limx infty raizxln(2x + 1) = limx infty ddx raizxddx ln(2x + 1)
Calculando as derivadas:
ddx raizx = 12raizx
ddx ln(2x + 1) = 22x + 1

Passo 5

Substituindo as derivadas no limite:
limx infty 12raizx22x + 1 = limx infty 2x + 14raizx

Passo 6

Agora, simplificamos a expressão. Para valores grandes de limx infty 2x4raizx = limx infty x2raizx = limx infty raizx2 , o termo é aproximadamente , então:
Como tende ao infinito quando tende ao infinito, o limite final é infinito.

Resposta

O limite é , correspondente à opção ©.

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