A reta tangente ao gráfico da função xy - x cos(pi y) + e^(x - 1) = 3 no ponto P=(1, 1) também passa pelo ponto:
a 0,2
C (0,4)
e (-1, -4)
b (-1,4)
d (2, 2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá uma equação envolvendo e e quer saber qual ponto está na reta tangente ao gráfico dessa função no ponto . Para isso, vamos precisar usar diferenciação implícita para achar a inclinação dessa reta tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar tudo certinho:
Nossa missão é encontrar a derivada , que nos dará a inclinação da reta tangente no ponto . Como é função de , precisamos usar a diferenciação implícita.

Passo 3

Vamos diferenciar cada termo da equação em relação a :
  1. :
    • Usamos a regra do produto:
  2. :
    • Também regra do produto e a cadeia:
  3. :
    • Derivada básica:
  4. :
    • Derivada de uma constante é 0.
Juntando tudo:

Passo 4

Agora, vamos isolar :

Passo 5

Vamos calcular no ponto :
Substituindo e :
Sabendo que e :
Então, a inclinação da reta tangente é .

Passo 6

Agora, vamos escrever a equação da reta tangente usando a forma ponto-inclinação:
Onde e :
Simplificando:

Passo 7

Finalmente, vamos verificar qual dos pontos fornecidos satisfaz a equação :
a) :
ãá
b) :
ãá
c) :
á
d) :
ãá
e) :
ãá

Resposta

A reta tangente no ponto também passa pelo ponto c) .

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