Calcule sabendo que para todo ,

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o limite de quando vai para mais infinito ( ). A gente sabe que para todo , está entre duas funções:
Vamos usar o Teorema do Sanduíche (ou Teorema da Convergência) para encontrar esse limite. Esse teorema diz que se uma função está sempre entre duas outras funções que têm o mesmo limite, então ela também tem esse limite.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite da função de baixo:
Simplificando a fração, podemos dividir cada termo no numerador pelo denominador:
Agora, vamos calcular o limite de cada parte:
  • (porque cresce muito rápido, fazendo a fração tender a zero)
Então, o limite total da função de baixo é:

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite da função de cima:
Podemos simplificar a expressão dividindo o numerador e o denominador por :
Agora, calculamos o limite quando vai para mais infinito:

Passo 4

Agora que temos os limites das duas funções que “sanduicham” :
Pelo Teorema do Sanduíche, já que está sempre entre essas duas funções que têm o mesmo limite, o limite de também é esse valor.

Resposta

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Sejam e funções reais tais que e , podemos concluir que
Mostre que a função
é contínua no ponto 0 . A função é contínua no ponto com ?
Calcule os limites abaixo:
Calcule os limites abaixo: ;