Calcule
sabendo que para todo
,
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o limite de
quando
vai para mais infinito (
). A gente sabe que para todo
,
está entre duas funções:
Vamos usar o Teorema do Sanduíche (ou Teorema da Convergência) para encontrar esse limite. Esse teorema diz que se uma função está sempre entre duas outras funções que têm o mesmo limite, então ela também tem esse limite.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o limite da função de baixo:
Simplificando a fração, podemos dividir cada termo no numerador pelo denominador:
Agora, vamos calcular o limite de cada parte:
-
-
(porque cresce muito rápido, fazendo a fração tender a zero)
Então, o limite total da função de baixo é:
Passo 3
Agora, vamos calcular o limite da função de cima:
Podemos simplificar a expressão dividindo o numerador e o denominador por
:
Agora, calculamos o limite quando
vai para mais infinito:
Passo 4
Agora que temos os limites das duas funções que “sanduicham”
:
Pelo Teorema do Sanduíche, já que
está sempre entre essas duas funções que têm o mesmo limite, o limite de
também é esse valor.
Resposta
Exercícios relacionados
Sejam
e
funções reais tais que
e
, podemos concluir que
Mostre que a função
é contínua no ponto 0 . A função
é contínua no ponto
com
?
Calcule os limites abaixo:
Calcule os limites abaixo:
;