Calcule lim x +infty f(x) sabendo que para todo x>1,
10 e^x-212 e^x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o limite de 10 e^x-212 e^x < f(x) < 5 raizxraizx-1 quando vai para mais infinito ( ). A gente sabe que para todo , está entre duas funções:
Vamos usar o Teorema do Sanduíche (ou Teorema da Convergência) para encontrar esse limite. Esse teorema diz que se uma função está sempre entre duas outras funções que têm o mesmo limite, então ela também tem esse limite.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite da função de baixo:
limx +infty 10 e^x-212 e^x
Simplificando a fração, podemos dividir cada termo no numerador pelo denominador:
10 e^x2 e^x - 212 e^x = 5 - 212 e^x
Agora, vamos calcular o limite de cada parte:
  • 5 - 0 = 5
  • (porque cresce muito rápido, fazendo a fração tender a zero)
Então, o limite total da função de baixo é:

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite da função de cima:
limx +infty 5 raizxraizx-1
Podemos simplificar a expressão dividindo o numerador e o denominador por 5 raizxraizx-1 = 5 cdot raizxraizx raiz1 - 1x = 5raiz1 - 1x :
limx +infty 5raiz1 - 1x = 5raiz1 - 0 = 51 = 5
Agora, calculamos o limite quando vai para mais infinito:

Passo 4

Agora que temos os limites das duas funções que “sanduicham” limx +infty 10 e^x-212 e^x = 5 :
limx +infty 5 raizxraizx-1 = 5
Pelo Teorema do Sanduíche, já que está sempre entre essas duas funções que têm o mesmo limite, o limite de também é esse valor.

Resposta

limx +infty f(x) = 5

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