Calcule os limites abaixo: ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite quando se aproxima de 0 da expressão . Esse tipo de limite pertence ao conteúdo de Cálculo de Limites, mais especificamente envolvendo funções trigonométricas e propriedades dos limites. Para resolver isso, vamos precisar saber como tratar limites que envolvem seno e expressões lineares no denominador.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma regra muito útil em limites envolvendo seno:
Essa regra diz que, quando o ângulo dentro do seno é o mesmo que o denominador, e ambos tendem a zero, o limite é igual a 1.

Passo 3

No nosso caso, temos no numerador e no denominador. Para aplicar a regra acima, precisamos ajustar a expressão de forma que o argumento do seno e o denominador sejam iguais. Vamos reescrever a expressão:
Aqui, multiplicamos e dividimos por 7 para equilibrar os termos.

Passo 4

Agora, podemos separar os limites usando a propriedade de que o limite do produto é o produto dos limites:

Passo 5

Aplicando a regra que mencionamos no Passo 2:
Portanto, substituindo de volta:

Resposta

O limite é .

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Calcule os limites abaixo:
Calcule sabendo que para todo ,
Encontre números e tais que .
Para todo número real , indiquemos com o maior inteiro menor ou igual a . Mostre que se e são números positivos então