Calcule os limites abaixo:
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite quando
se aproxima de 0 da expressão . Esse tipo de limite pertence ao conteúdo de Cálculo de Limites, mais especificamente envolvendo funções trigonométricas e propriedades dos limites. Para resolver isso, vamos precisar saber como tratar limites que envolvem seno e expressões lineares no denominador.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar de uma regra muito útil em limites envolvendo seno:
Essa regra diz que, quando o ângulo dentro do seno é o mesmo que o denominador, e ambos tendem a zero, o limite é igual a 1.
Passo 3
No nosso caso, temos no numerador e
no denominador. Para aplicar a regra acima, precisamos ajustar a expressão de forma que o argumento do seno e o denominador sejam iguais. Vamos reescrever a expressão:
Aqui, multiplicamos e dividimos por 7 para equilibrar os termos.
Passo 4
Agora, podemos separar os limites usando a propriedade de que o limite do produto é o produto dos limites:
Passo 5
Aplicando a regra que mencionamos no Passo 2:
Portanto, substituindo de volta:
Resposta
O limite é
.
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Calcule os limites abaixo:
Calcule
sabendo que para todo
,
Encontre números
e
tais que
.
Para todo número real
, indiquemos com
o maior inteiro menor ou igual a
. Mostre que se
e
são números positivos então