Calcule os limites abaixo: lim x 1 x^3-1raizx-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: . A matéria aqui é cálculo de limites. Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de álgebra, como fatoração e racionalização de expressões.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir 1^3-1raiz1-1 = 00 na expressão para ver o que acontece:
Viu? Ficamos com uma indeterminação . Isso significa que precisamos manipular a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Vamos começar fatorando o numerador x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1) . Isso é uma diferença de cubos, e sabemos que:
(x - 1)(x^2 + x + 1)raizx - 1
Então, a fração fica:

Passo 4

Agora, vamos lidar com o denominador (x - 1)(x^2 + x + 1)raizx - 1 times raizx + 1raizx + 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)(raizx + 1)x - 1 . Para simplificar, vamos racionalizar multiplicando o numerador e o denominador por :
Note que .

Passo 5

Agora, podemos simplificar (x^2 + x + 1)(raizx + 1)1 = (x^2 + x + 1)(raizx + 1) no numerador e denominador:
(1^2 + 1 + 1)(raiz1 + 1) = (1 + 1 + 1)(1 + 1) = 3 times 2 = 6
Agora, substituímos :

Resposta

O limite é igual a 6.

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