Mostre que a função
é contínua no ponto 0 . A função
é contínua no ponto
com
?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que a função
é contínua no ponto 0. Além disso, temos que verificar se a função é contínua em qualquer outro ponto
. Para isso, vamos precisar entender os conceitos de limite e continuidade de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. A função
é contínua em
se o limite de
quando
se aproxima de
for igual ao valor da função em
, ou seja:
Então, para mostrar que
é contínua em 0, precisamos calcular
e comparar com
.
Passo 3
Vamos calcular
. Observando a definição da função:
- Se
é racional, então . - Se
não é racional, então .
Como
é um número racional, temos:
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite
. Para isso, precisamos considerar o comportamento de
quando
se aproxima de 0, tanto pelos números racionais quanto pelos irracionais.
- Se
for racional proche de 0, então . - Se
for irracional proche de 0, então .
Então, o limite deve considerar essas duas situações.
Passo 5
Vamos calcular separadamente os limites pelas sequências de números racionais e irracionais.
- Sequência de números racionais:
- Sequência de números irracionais:
Passo 6
Como ambos os limites pelas sequências racionais e irracionais são iguais a 0, o limite geral de
quando
se aproxima de 0 é 0:
Passo 7
Comparando com
:
Portanto, a função
é contínua no ponto 0.
Passo 8
Agora, vamos verificar se a função
é contínua em um ponto
. Vamos seguir o mesmo procedimento: calcular
e comparar com
.
Passo 9
Primeiro, calculamos
:
- Se
for racional, . - Se
for irracional, .
Passo 10
Para o limite
, novamente consideramos as sequências racionais e irracionais.
- Sequência de números racionais:
- Sequência de números irracionais:
Passo 11
Observamos que:
Para que o limite geral exista, esses dois limites devem ser iguais. Ou seja, precisamos que:
Passo 12
A equação
só é verdade se
. Mas no nosso caso, estamos considerando
. Portanto, os limites pelas sequências racionais e irracionais não são iguais, o que significa que o limite geral
não existe.
Resposta
A função
é contínua no ponto 0, mas não é contínua em nenhum outro ponto
.
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Calcule os limites abaixo:
;
Calcule os limites abaixo:
Sejam
e
funções reais tais que
e
, podemos concluir que
Calcule
sabendo que para todo
,