Mostre que a função
é contínua no ponto 0 . A função é contínua no ponto com ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que a função
é contínua no ponto 0. Além disso, temos que verificar se a função é contínua em qualquer outro ponto . Para isso, vamos precisar entender os conceitos de limite e continuidade de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. A função é contínua em se o limite de quando se aproxima de for igual ao valor da função em , ou seja:
Então, para mostrar que é contínua em 0, precisamos calcular e comparar com .

Passo 3

Vamos calcular . Observando a definição da função:
  • Se é racional, então .
  • Se não é racional, então .
Como é um número racional, temos:

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite . Para isso, precisamos considerar o comportamento de quando se aproxima de 0, tanto pelos números racionais quanto pelos irracionais.
  • Se for racional proche de 0, então .
  • Se for irracional proche de 0, então .
Então, o limite deve considerar essas duas situações.

Passo 5

Vamos calcular separadamente os limites pelas sequências de números racionais e irracionais.
  1. Sequência de números racionais:
  1. Sequência de números irracionais:

Passo 6

Como ambos os limites pelas sequências racionais e irracionais são iguais a 0, o limite geral de quando se aproxima de 0 é 0:

Passo 7

Comparando com :
Portanto, a função é contínua no ponto 0.

Passo 8

Agora, vamos verificar se a função é contínua em um ponto . Vamos seguir o mesmo procedimento: calcular e comparar com .

Passo 9

Primeiro, calculamos :
  • Se for racional, .
  • Se for irracional, .

Passo 10

Para o limite , novamente consideramos as sequências racionais e irracionais.
  1. Sequência de números racionais:
  1. Sequência de números irracionais:

Passo 11

Observamos que:
Para que o limite geral exista, esses dois limites devem ser iguais. Ou seja, precisamos que:

Passo 12

A equação só é verdade se . Mas no nosso caso, estamos considerando . Portanto, os limites pelas sequências racionais e irracionais não são iguais, o que significa que o limite geral não existe.

Resposta

A função é contínua no ponto 0, mas não é contínua em nenhum outro ponto .

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Sejam e funções reais tais que e , podemos concluir que
Calcule sabendo que para todo ,