Considere
definida por
. Mostre que
tem uma raiz real e encontre um intervalo de comprimento
que contém esta raiz.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por
e precisamos mostrar que essa função tem pelo menos uma raiz real, ou seja, um valor de
onde
. Além disso, precisamos encontrar um intervalo de comprimento
que contenha essa raiz. Para resolver isso, vamos usar o Teorema do Valor Intermediário e alguns conceitos básicos de análise de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos mostrar que a função
tem pelo menos uma raiz real usando o Teorema do Valor Intermediário. Esse teorema diz que se uma função contínua assume valores de sinais opostos em dois pontos, então existe pelo menos um ponto entre eles onde a função é zero.
Passo 3
Vamos avaliar
em dois pontos diferentes. Vamos tentar
e
:
Para
:
Para
:
Observamos que ambos os valores são negativos, então precisamos escolher outro ponto.
Vamos tentar
:
Agora, temos
e
. A função mudou de negativo para positivo entre
e
.
Passo 4
Como
é uma função contínua (porque é um quociente de funções polinomiais onde o denominador nunca é zero), pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos um
entre 2 e 3 onde
. Portanto, a função
tem uma raiz real nesse intervalo.
Passo 5
Agora, vamos encontrar um intervalo de comprimento
que contenha essa raiz. Sabemos que a raiz está entre 2 e 3, que tem comprimento 1. Podemos dividir esse intervalo para encontrar um subintervalo de comprimento
que contenha a raiz.
Vamos calcular
:
Como
e
, a raiz está entre 2 e 2,5, pois a função mudou de negativo para positivo nesse intervalo.
Resposta
A função
tem pelo menos uma raiz real no intervalo
, que tem comprimento
.