Considere f: R -> R definida por f(x) = x^3 / (1 + x^2) - 2. Mostre que f tem uma raiz real e encontre um intervalo de comprimento 1/2 que contém esta raiz.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por e precisamos mostrar que essa função tem pelo menos uma raiz real, ou seja, um valor de onde . Além disso, precisamos encontrar um intervalo de comprimento que contenha essa raiz. Para resolver isso, vamos usar o Teorema do Valor Intermediário e alguns conceitos básicos de análise de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos mostrar que a função tem pelo menos uma raiz real usando o Teorema do Valor Intermediário. Esse teorema diz que se uma função contínua assume valores de sinais opostos em dois pontos, então existe pelo menos um ponto entre eles onde a função é zero.

Passo 3

Vamos avaliar em dois pontos diferentes. Vamos tentar e :
Para :
Para :
Observamos que ambos os valores são negativos, então precisamos escolher outro ponto.
Vamos tentar :
Agora, temos e . A função mudou de negativo para positivo entre e .

Passo 4

Como é uma função contínua (porque é um quociente de funções polinomiais onde o denominador nunca é zero), pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos um entre 2 e 3 onde . Portanto, a função tem uma raiz real nesse intervalo.

Passo 5

Agora, vamos encontrar um intervalo de comprimento que contenha essa raiz. Sabemos que a raiz está entre 2 e 3, que tem comprimento 1. Podemos dividir esse intervalo para encontrar um subintervalo de comprimento que contenha a raiz.
Vamos calcular :
Como e , a raiz está entre 2 e 2,5, pois a função mudou de negativo para positivo nesse intervalo.

Resposta

A função tem pelo menos uma raiz real no intervalo , que tem comprimento .

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