Suponha que um foguete é lançado verticalmente a partir da superfície da Terra com velocidade inicial vo
, onde R é o raio da Terra. Não considere a resistência do ar. Encontre uma expressão para a velocidade a em função da distancia x da superfície da Terra. Encontre o tempo necessário para o foguete atingir 240.000 milhas (a distancia aproximada da Terra a Lua). Suponha que R
milhas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que um foguete é lançado verticalmente da superfície da Terra com uma velocidade inicial
, onde
é o raio da Terra. A gente vai trabalhar com o conteúdo de Movimento sob a Influência da Gravidade. Para resolver, vamos precisar das leis de movimento de Newton e da fórmula da força gravitacional que depende da distância.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a força gravitacional
entre a Terra e o foguete é dada por:
onde:
-
é a constante gravitacional, -
é a massa da Terra, -
é a massa do foguete, -
é a distância do foguete em relação à superfície da Terra.
Mas, como queremos a aceleração, usamos
, então:
Passo 3
Sabemos que na superfície da Terra, a aceleração da gravidade é
. Podemos substituir isso na expressão da aceleração:
Então, a velocidade
em função da distância
pode ser encontrada integrando a aceleração.
Passo 4
Vamos integrar a aceleração para encontrar a velocidade. A relação entre aceleração e velocidade é:
Substituindo
:
Integrando ambos os lados:
Resultado da integração:
Passo 5
Determinar a constante de integração
. No início, quando
, a velocidade é
:
Então, a equação fica:
Multiplicando por 2:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos encontrar o tempo necessário para o foguete atingir
milhas. Sabemos que:
Rearranjando:
Integrando de
a
milhas:
Essa integral pode ser resolvida numericamente para encontrar o tempo.
Resposta
A velocidade em função da distância
é:
O tempo necessário para o foguete atingir 240.000 milhas pode ser encontrado resolvendo a integral:
Exercícios relacionados
Considere
definida por
. Mostre que
tem uma raiz real e encontre um intervalo de comprimento
que contém esta raiz.
Calcule
(a) .
(b) .
(a)
(b)
Resolva as seguintes equações exponenciais:
Resolva as seguintes equações exponenciais: