Suponha que um foguete é lançado verticalmente a partir da superfície da Terra com velocidade inicial vo , onde R é o raio da Terra. Não considere a resistência do ar. Encontre uma expressão para a velocidade a em função da distancia x da superfície da Terra. Encontre o tempo necessário para o foguete atingir 240.000 milhas (a distancia aproximada da Terra a Lua). Suponha que R milhas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que um foguete é lançado verticalmente da superfície da Terra com uma velocidade inicial , onde é o raio da Terra. A gente vai trabalhar com o conteúdo de Movimento sob a Influência da Gravidade. Para resolver, vamos precisar das leis de movimento de Newton e da fórmula da força gravitacional que depende da distância.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a força gravitacional entre a Terra e o foguete é dada por:
onde:
  • é a constante gravitacional,
  • é a massa da Terra,
  • é a massa do foguete,
  • é a distância do foguete em relação à superfície da Terra.
Mas, como queremos a aceleração, usamos , então:

Passo 3

Sabemos que na superfície da Terra, a aceleração da gravidade é . Podemos substituir isso na expressão da aceleração:
Então, a velocidade em função da distância pode ser encontrada integrando a aceleração.

Passo 4

Vamos integrar a aceleração para encontrar a velocidade. A relação entre aceleração e velocidade é:
Substituindo :
Integrando ambos os lados:
Resultado da integração:

Passo 5

Determinar a constante de integração . No início, quando , a velocidade é :
Então, a equação fica:
Multiplicando por 2:
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos encontrar o tempo necessário para o foguete atingir milhas. Sabemos que:
Rearranjando:
Integrando de a milhas:
Essa integral pode ser resolvida numericamente para encontrar o tempo.

Resposta

A velocidade em função da distância é:
O tempo necessário para o foguete atingir 240.000 milhas pode ser encontrado resolvendo a integral:

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Considere definida por . Mostre que tem uma raiz real e encontre um intervalo de comprimento que contém esta raiz.
Calcule
(a) .
(b) .
Resolva as seguintes equações exponenciais:
Resolva as seguintes equações exponenciais: