Calcule lim n infty an, em que (an)=(cos (1n))^n^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o limite de uma sequência quando an = (cos(1n))^n^2 tende ao infinito. A sequência dada é:
Aqui, estamos trabalhando com limites envolvendo funções trigonométricas e exponenciais. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função cosseno se comporta quando seu argumento se aproxima de zero e como isso afeta o limite da sequência.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento de cos(1n) approx 1 - 12n^2 quando cresce cada vez mais, ou seja, quando . Sabemos que quando se aproxima de 0, se aproxima de 1. Então, para muito grande, é muito pequeno, e podemos aproximar:
Essa é a expansão de Taylor do cosseno em torno de 0 até o termo de segunda ordem.

Passo 3

Agora, substituímos essa aproximação na expressão da sequência:
an approx (1 - 12n^2)^n^2
Queremos calcular o limite dessa expressão quando . Essa forma se assemelha a um limite conhecido envolvendo a constante .

Passo 4

Lembramos que:
limm to infty (1 + km)^m = e^k
No nosso caso, temos limn to infty (1 - 12n^2)^n^2 = e^-12 e . Aplicando essa propriedade, temos:

Resposta

O limite da sequência é .

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