Calcule , em que

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o limite de uma sequência quando tende ao infinito. A sequência dada é:
Aqui, estamos trabalhando com limites envolvendo funções trigonométricas e exponenciais. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função cosseno se comporta quando seu argumento se aproxima de zero e como isso afeta o limite da sequência.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento de quando cresce cada vez mais, ou seja, quando . Sabemos que quando se aproxima de 0, se aproxima de 1. Então, para muito grande, é muito pequeno, e podemos aproximar:
Essa é a expansão de Taylor do cosseno em torno de 0 até o termo de segunda ordem.

Passo 3

Agora, substituímos essa aproximação na expressão da sequência:
Queremos calcular o limite dessa expressão quando . Essa forma se assemelha a um limite conhecido envolvendo a constante .

Passo 4

Lembramos que:
No nosso caso, temos e . Aplicando essa propriedade, temos:

Resposta

O limite da sequência é .

Exercícios relacionados

Liste as 7 indeterminações que encontramos no cálculo de limites, com ao menos 2 exemplos para cada que justifique porque são indeterminações.
(7)
Escreva os 10 primeiros termos da série e de , a partir disso compare tais séries e conclua para qual valor de elas são iguais.
Explique a diferença de uma série convergir absolutamente e condicionalmente, e dê 2 exemplos de séries que convergem condicionalmente, explicando porque a convergência não é absoluta.