Calcule
, em que
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o limite de uma sequência quando
tende ao infinito. A sequência dada é:
Aqui, estamos trabalhando com limites envolvendo funções trigonométricas e exponenciais. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função cosseno se comporta quando seu argumento se aproxima de zero e como isso afeta o limite da sequência.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o comportamento de
quando
cresce cada vez mais, ou seja, quando
. Sabemos que quando
se aproxima de 0,
se aproxima de 1. Então, para
muito grande,
é muito pequeno, e podemos aproximar:
Essa é a expansão de Taylor do cosseno em torno de 0 até o termo de segunda ordem.
Passo 3
Agora, substituímos essa aproximação na expressão da sequência:
Queremos calcular o limite dessa expressão quando
. Essa forma se assemelha a um limite conhecido envolvendo a constante
.
Passo 4
Lembramos que:
No nosso caso, temos
e
. Aplicando essa propriedade, temos:
Resposta
O limite da sequência é
.