Calcule
, em que
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o limite de uma sequência quando
tende ao infinito. A sequência dada é:
Aqui, estamos trabalhando com limites envolvendo funções trigonométricas e exponenciais. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função cosseno se comporta quando seu argumento se aproxima de zero e como isso afeta o limite da sequência.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o comportamento de
quando
cresce cada vez mais, ou seja, quando
. Sabemos que quando
se aproxima de 0,
se aproxima de 1. Então, para
muito grande,
é muito pequeno, e podemos aproximar:
Essa é a expansão de Taylor do cosseno em torno de 0 até o termo de segunda ordem.
Passo 3
Agora, substituímos essa aproximação na expressão da sequência:
Queremos calcular o limite dessa expressão quando
. Essa forma se assemelha a um limite conhecido envolvendo a constante
.
Passo 4
Lembramos que:
No nosso caso, temos
e
. Aplicando essa propriedade, temos:
Resposta
O limite da sequência é
.
Exercícios relacionados
Liste as 7 indeterminações que encontramos no cálculo de limites, com ao menos 2 exemplos para cada que justifique porque são indeterminações.
(7)
Escreva os 10 primeiros termos da série
e de
, a partir disso compare tais séries e conclua para qual valor de
elas são iguais.
Explique a diferença de uma série convergir absolutamente e condicionalmente, e dê 2 exemplos de séries que convergem condicionalmente, explicando porque a convergência não é absoluta.